2. dereceden denklemlerin formüllerinin ispatları

Question

$ax^{2}+bx+c=0\Rightarrow x_{1}+x_{2}=\dfrac {-b} {a},x_{i}x_{2}=\dfrac {c} {a}\\ X_{1}=\dfrac {-b+\sqrt [] {\Delta }} {2\cdot a} X_{2}=\dfrac {-b-\sqrt [] {\Delta }} {2\cdot a}\\ \Delta =b^{2}-4.ac$

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt \triangle}{|a|}$

bu formülleri nasıl ispatlarız.

Answer 1

$$(a\neq 0)(ax^2+bx+c=0)$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=0$$

$$\Rightarrow$$

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$$\Rightarrow$$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

$$\Rightarrow$$

$$x+\frac{b}{2a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \,\,\ \vee \,\,\ x+\frac{b}{2a}=-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

$$\Rightarrow$$

$$x=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \,\,\ \vee \,\,\ x=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Comments

sitede en az 3 ispati vardi. su an en az 4 oldu :) 

---

kusurabakmayın bakıyorum ama bulamıyorum bugün baştan sona bi geziyim ozaman elimdeki sorularıda yazarım sağolun 

---

aradigim sorulari bulamamaktan ben de sikayetciyim.. google ile matkafasi .... yazip daha iyi arama yapilabiliyor.

---

bence ispatlar gibi yeni bir bölüm açılmalı yada bu tarz güzelde bir editörle bu iş çözülür gibi:=)

---

cevaba ekleme yaptım.

---

Eklemelerini lütfen yorum kısmına yazar mısın?

Answer 2

$x_{1}+x_{2}$ kökler toplamı ve $x_{1}.x_{2}$  kökler çarpımı için.


$(ax+b)(cx+d)=0$   denklemini ele alalım 

denklem kökleri $x_{1}=\dfrac{-b}{a}$  $x_{2}=\dfrac{-c}{d}$ olur.

$(ax+b)(cx+d)=Ax^2+Bx+C$ eşitliği olsun ; dağıtmayı yapıp birdaha bakalım,

$a.c.x^2+a.d.x+b.c.x+b.d=Ax^2+Bx+C$  

$a.c.x^2+(ad+bc).x+b.d=Ax^2+Bx+C$olur burda dikkat ederseniz

$A=a.c$

$B=ad+bc$

$C=b.d$    olurlar.

$\dfrac{B}{A}=\dfrac{a.d}{a.c}+\dfrac{b.c}{a.c}=\dfrac{d}{c}+\dfrac{b}{a}$ kökler toplamının toplamaya göre tersi ozaman

$-\dfrac{B}{A}=-\dfrac{a.d}{a.c}-\dfrac{b.c}{a.c}=-\dfrac{d}{c}-\dfrac{b}{a}$ kökler toplamı olur.

$\dfrac{C}{A}=\dfrac{b.d}{a.c}=(-\dfrac{b}{a}).(-\dfrac{c}{d})$ kökler çarpımı olur.

Answer 3

$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt \triangle}{|a|}$ ispatı için  $\triangle$'nın ispatına başvuralım 

 $\triangle=b^2-4ac$  ve kökler ise     $x_1=\dfrac{-b-\sqrt \triangle}{2a}$   ,   $x_2=\dfrac{-b+\sqrt \triangle}{2a}$


$|x_1-x_2|=\left|\dfrac{-b-\sqrt \triangle}{2a}+\dfrac{b-\sqrt \triangle}{2a}\right|=\dfrac{\sqrt \triangle}{|a|}$ olarak ispatlanır.