4 ortalama hakkındaki ilginç ilişki ve ispatlanması

Question

[ a ] ların pozitif reel sayı değerleri için

$A=\dfrac {a_{i}+a_{2}+\ldots ..+a_{n}} {n} \\G=\sqrt [n] {a_{i}a_{2}\ldots a_{n}}\\\ H=\dfrac {n} {\dfrac {1} {a_{1}}+\dfrac {1} {a_{2}}+\dfrac {1} {a_{3}}+\ldots \dfrac {1} {a_{n}}}\\ K=\sqrt {\dfrac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\ldots \ldots +a_{n}^{n}} {n}}$

$H\leq G\leq A\leq K$

beyfendiler bunun bu sıralamasını nasıl ispatlarız

Comments

İpucu: $$a,b\in [0,\infty)\Rightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$$

Ayrıca soruda her $i$ için $a_i\geq 0$ olduğunu belirtmelisin.

---

haklısınız pozitif reel sayılar diye yazmayı unutmuşum. saygılar

---

hocam 2 pozitif reel sayı için doğru olan verdiginiz bu eşitliği 2 ve daha fazla sayıdaki sayılarda geçerli oldugunu ispatlayabilirmiyiz daha doğrusu buna gerek varmıdır .

---

ortalamalar için faydalanabilecegimiz linkler

link 1 :https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Root-Mean_Square-Arithmetic_Mean-Geometric_Mean-Harmonic_mean_Inequality

link 2:http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/nasilanlatir.htm

link3:http://www.oyakcimento.com/uploads/hakkimizda/AnalizCebir.pdf

ve geçen siteyi tararken bir fotoraf görmüştüm birim çember üzerinden ispatı gibi onuda ekleyebiliriz.(nerede oldugunu unutmuşum bilen varsa eklesin lütfen)