Moduler aritmetik , hata hangi adimda?

Question

$5^{x+12}$ $\equiv$ $125^{x+2}$ (mod4) denkligini cozmek isteyen bi ogrenci 

1)$5^{x+12}$$\equiv$ $5^{3x+6}$ (mod 4)

2)$x$+12$\equiv$ 3x+6 ( mod 4)

3)$2x$$\equiv$6 (mod4)

4)$x$$\equiv$3 (mod4)

5)$x$$\equiv$ 4k+3, k  elemanidir tam sayilarin.

Fakat denkligi saglayan $1$ degerinin buldugu cozum kumesinde yer almadigini goruyor. 

İlk olarak hangi adimda hata yapilmistir?

$2$. Adim cevabi verilmis nicin $ 2$. adim aciklar misiniz?

Comments

yalnız 4 .adımda hata var 

---

Cevap anahtari 2. Adimda diyor. Nicin 4?

---

2x=6(mod4)

x=3(mod2) şeklinde sadeleşir  buradan (x=5 veya 3,1) gelebilir.

---

İlk olarak diyor ama.

---

ilk olarak nerede hata yapıldığını ben de bilemedim ama 4. adımda kesin hata var.

---

Peki ama neden 2. adim denilmis anlayamadim

---

$5^2$ ve $5^3$ ne yapiyor modulo 4? Bu sana ne gibi bir gozlem verir? Sonra da $5^{123}$'u hesaplayabilir misin modulo 4? Buradan da baskair gözlem çıkarabilir misin?

---

ilk olarak $5\equiv 1$ oldugundan esitlik her $x$ icin dogrudur.

sayilarin denk olmasi ustlerin ayni modda denk olmasi anlamina gelmez, hatta yanlis. Euler toitent fonksiyonunu arastirabilirsiniz. 

---

@Ozgur 1 kalanini veriyor hocam verdiginiz uslu sayilar , 5 in kuvvetlerinin modul 4 e gore 1e denk  oldugu cikarimina ulasabilirz sanirim , peki ikideki islem nasil olmali ki soruyla iliskilendirmek gerekirse bu  bilgiyi nasil kullanicam soruda

---

Sercan hocam oyleyse ogrenci cozume  sadece her x icin dogrudur mu demeliydi? 

---

Dogru olacak her cumleyi soyleyebilir. Benim soyledigim (dogru olduguna inandigimdan bunlardan) birisi. 

Ozgur'un yorumunu simdi gordum.  Yorumu ustleri mod'a inderemeyecegimizi soyluyor, ki dogru.

---

Anladim hocam tesekkurler.

---

Ben de Sercan'in yorumunu simdi gordum.

@merveozz Bize sorulan sey "ne demeliydi?" degil, "nerede hata yapti?". Bazen sorunun dogru cevabinin ne oldugunu bilemeyebiliriz, ne yapmamiz gerektigini bilemeyebiliriz ama ne yapmamamiz gerektigini biliyor olabiliriz. Bu da cok onemlidir.

Hata ikinci adimda cunku "$5^a \equiv 5^b$ ise bu $a \equiv b$ demek degildir.". Bundan sonra ne yaptiginin en onemi yok, burada yanlis yapti. Ne yapmasi gerektigini bilmemize de gerek yok, burada yanlis yapti.

---

Anladim ,tesekkur ederim.