Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
634 kez görüntülendi

$$\begin{align}\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}\end{align}$$ esitligi dogru mu? Dogru ise ispatlayiniz.

Serbest kategorisinde (24.9k puan) tarafından 
tarafından yeniden kategorilendirildi | 634 kez görüntülendi

Bu esitligin ozel bir ismi de var.

bilmem gerekiyorsa bileyim hocam :D yapmam gerekiyorsa yapayım,yönlendirme var mıdır?

yok, kendin calisarak bul :)

Bu soruyu &quot;65&quot; puan olarak ödüllü ilan ediyorum. <br><br>İstek: Mantık ve açıklamalarıyla lütfen.

Çözümü yazdım ama konunun ismini "ra" verdiği için puanı ona veriyorum.

Puan cevap sahibini verilmeli degil mi, sn. admin bey?

Anıl burada bir emek söz konusu çözüm sizin puan sizin olmalı . Sercanın söylediği gibi . 

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme

$e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!}$ olduğundan

$x^{-x}=e^{-xlnx}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}$  olur ve dolayısıyla;

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x} dx=\displaystyle\int_0^1 \left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}\right)dx$

uygun yakınsaklık teoreminden dolayı (uniformly convergence)  integrali içeri atabilirim. $^{^{soru\;1}}$

$\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \left(\displaystyle\int_0^1 \dfrac{(-1)^n(x)^n(lnx)^n}{n!}dx\right)$


$e^{^{\frac{-u}{n+1}}}=x$ dönüşümü yaparsak;

$= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^{2n+1}(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_\infty^0 u^n e^{-u}du\right)= \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)$

$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n-1} e^{-u} du$    ve    $\Gamma(n+1)=\displaystyle\int_0^\infty u^{n} e^{-u} du=n\Gamma(n)=n!$ olduğundan;

$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^{-x}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{(n+1)^{-n-1}}{n!} \underbrace{\left(\displaystyle\int_0^\infty u^n e^{-u}du\right)}_{n!}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)^{-n-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n^{-n}}}$

Ve aynı sonuçlar için;


$\boxed{\boxed{\displaystyle\int_0^1 x^xdx=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n}=-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n}}}$


Sonucu da çıkar.



(7.8k puan) tarafından 

Soru 1: Uniformly convergence diye içeri dağıtabilmemin asıl nedeni nedir?

Cevabi en iyi secme sebebinizi anlamadim?

ödüllü kategorısınde, dogru cevaba ek bır de puanı odullu ılan etme cevabı oldugundan, sorunun cozuldugunu, soru lıstesınde gostermek ıcın en ıyı secmıstım .

19,695 soru
21,399 cevap
71,870 yorum
219,813 kullanıcı