Bir 3-boyutlu Öklid uzayı olan $V$'de $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\in V$ vektörlerini ele alalım. O zaman bu vektörleri içeren $U\subset V$ ve $\mathbf{e_1},\mathbf{e_2},\mathbf{e_3}$ $U$'nun ortonormal bazı. O zaman $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ vektörleri tarafından oluşturulan paralelyüzün $P$ hacmi
$Hacim(P)=\vert det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}]\vert$'dir.
Yönlü hacmi şekildeki nesneye şekildeki gibi Grassman cebirinin dış çarpımını $\wedge$ sembolize eden olarak "döndürme oklu" (pozitif ya da negatif işaretli) hacim düşünebiliriz.
Grassmann dış çarpımına göre $\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}=(a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_3})\wedge(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3})=a_1b_1\mathbf{e_1}\wedge\mathbf{e_1}+(a_1b_2-a_2b_1)\mathbf{e_1}\wedge\mathbf{e_2}+(a_1b_3-a_3b_1)\mathbf{e_1}\wedge\mathbf{e_3}+a_2b_2\mathbf{e_2}\wedge\mathbf{e_2}+(a_2b_3-a_3b_2)\mathbf{e_2}\wedge\mathbf{e_3}+a_3b_3\mathbf{e_3}\wedge\mathbf{e_3}.$
Bu yüzden,
$\mathbf{a}\wedge\mathbf{b}\wedge\mathbf{c}=(a_1\mathbf{e_1}+a_2\mathbf{e_2}+a_3\mathbf{e_2})\wedge(b_1\mathbf{e_1}+b_2\mathbf{e_2}+b_3\mathbf{e_3})\wedge(c_1\mathbf{e_1}+c_2\mathbf{e_2}+c_3\mathbf{e_3})=(a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1)(\mathbf{e_1}\wedge\mathbf{e_2}\wedge\mathbf{e_3})=det[\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}](\mathbf{e_1}\wedge\mathbf{e_2}\wedge\mathbf{e_3}).$
Yani yönlü hacim; baz birim yönlü hacmi çarpı bir pozitif ya da negatif bir sayıya (= determinant) eşittir.