Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
993 kez görüntülendi
$X$ ve $Y$ herhangi iki küme ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere $$``A \subseteq X \Rightarrow A=f^{-1} [ f [A] ]"$$ önermesi doğru mudur? Cevabınızı kanıtlayınız.
Lisans Matematik kategorisinde (16 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 993 kez görüntülendi


 $f$ nedir burada? 

Soruyu sorarken ödev sorusu olduğunu bu kadar belli etmek çok da gerekli olmayabilir ayrıca.



Merhaba Gökhan bey ödev sorusu olsa bile burada fikir alışverişinde bulunarak sorulara çözüm bulmaya çalıştığımız için bu yüzden rahat bi şekilde soruyu sordum.

İzninizle bir şeyler belirtmek istiyorum.


Ödev sorusu da sorulabilir. Ancak şöyle bir tehlike var, farkında olmamız gereken. Matematik kafası, matematik dağarcığı oluşturmak için oluşturulmuş bir site ve böyle bir dağarcık oluşturma da nihayetinde matematik biliminin Türkiye'de gelişmesine katkı sağlayabilmek için. Matematik de ancak matematikle uğraşan kişiler sorularını çözmeye gayret ettikçe gelişir. Bu nedenle ödev sorularını sorarken dikkatli olmak gerek. Site öğrencilerin kendi başlarına uğraşmaları için verilmiş ödev sorularının başkaları tarafından çözüldüğü bir yer haline gelirse, kendi kuruluş amacına ters bir sonuç doğurarak öğrencilere zarar verir hale gelir.


Açıkçası bir ödev sorusu pekala sorulabilir. Ama tek bir şartla. Soruyu soran kişinin katılmcı bir tutum içinde olması şartıyla. Yani, bu soruyu şöyle sormanız gerektiğini düşünüyorum:


Böyle bir ödev sorumuz var. Ben şöyle yaklaşmayı düşündüm ama oradan çıkmadı. Sizce yaklaştığım yer mi yanlış yoksa yaklaşımım doğru olduğu halde gözümden kaçan bir şey mi var? (ya da, benim aklıma hiçbir şey gelmiyor! Bir ipucu verebilir misiniz?)


Son olarak: Sorularınızı lütfen silmeyin. Burası hep beraber birbirimizle anlaşarak bilgi toparlayacağımız bir yer olsun istiyoruz. Buradaki uzmanlar ve uzman olmayanlar arasında deneyimden başka bir fark yok. Herkesin amacı ortak. Eminim Gökhan Benli de sizi kırmak için yazmadı yorumunu. Benimle benzer düşüncelere sahip olduğu için yukarıdaki uyarıyı yaptığına eminim. 


Soru sormaya devam. Ama sormadan önce kendi becerilerinize güven duyup düşünme şartıyla. Zaten çalışmak beceriyi ortaya çıkartacak olan şey :)

Teşekkür ediyorum Şafak bey. Böylesi çok daha güzel oldu.

Şafak bey ilginiz için teşekkür ederim.

Ödev sorularının buraya sorulması tabii ki de iyi birşey buna karşı değilim. Fakat soruları sorarken (özellikle ödev sorularını) soruda nerede takıldığınızı açıkca yazarsanız daha verimli olur.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
$f: \Bbb{Z} \rightarrow \Bbb{Z}$  $x\in \Bbb{Z}$ için $f(x)=x^{2}$ fonksiyonunu alalım. $A=\{1,4\}\subset \Bbb{Z}$ için $f(A)=\{1,16\}$ ve $f^{-1}(f(A))=\{-4,-1,1,4\}$ olup $f^{-1}(f(A))\neq A$ olur. Genel durumda yukarıdaki önerme $f$ nin bire-bir olmasında doğrudur.
(1.5k puan) tarafından 

Yardımınız için teşekkürler Handan hanım.

İfadenin fonksiyonun bire-bir olmasında ki denkliğini şayet istiyorsanız özel yazıp gönderebilirim. Yani ispatını. Sorunuzuda kapatmayın lütfen. Çünkü sorularımızı tartışmak, paylaşmak için buradayız.

Handan hanım sorunun ispatını tamamlamak için örtenliğinide kontrol etmemiz gerektiğini düşünüyorum ve sizin verdiğiniz örnek üzerinden yola çıkarak  $ f :  \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}  $ $ x \in \mathbb{Z} $  için  $f(x)= x^{2}$ foksiyonunda $ A= ${$ -2 , 2 $}$  \subset \mathbb{Z} $ için $ f(A) = ${$ 4 $}$ $ olur ve $ f^{-1}(f(A)) = ${$ -4 , 4 $}$ $ olur bu durumda önerme f nin örten olması yanlış olur diye düşünüyorum bu şekilde doğru bi sonuca ulaşmış olurmuyum. 

Yukarıda vermiş olduğunuz önerme doğru değil. Bir ifadenin doğru olmadığını karşıt örnek vererek açıklarız. (Bu sebeple bir örnek verdim) Şayet doğru ise ispat yaparız. Yazmış olduğunuz ifade: " $f:X\rightarrow Y$ fonksiyonu 1-1 dir ancak yada ancak $\forall A\subseteq X$ için $f^{-1}(f(A))=A$" şeklindedir. Bunun ispatını yapabilirsiniz.

Handan hanım cevaba ulaşamadım malesef.

$f:X\rightarrow Y$ bir fonksiyon olsun. Kabul edelim ki $f$ 1-1. $\forall A\subseteq X$ için $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ her zaman vardır. (Eleman alarak görebilirsiniz). $a\in f^{-1}(f(A))$ olsun. Bu durumda $f(a)\in f(A)$ olur. Yani $f(a)=f(b)$ olacak şekilde $b\in A$ vardır. $f$ 1-1 olduğundan $a=b\in A$ Yani $f^{-1}(f(A))\subseteq A$ elde edilir.
Tersine $f(x)=f(y)$ olacak şekilde $x,y\in X$ elemanlarını alalım. $f(x)=f(y)$ ise $f(\{x\})=f(\{y\})$ ve kabulden $f^{-1}(f(\{x\}))=f^{-1}(f(\{y\}))$ yani $\{x\}=\{y\}$ ve $x=y$ olur ki $f$ 1-1 dir.

 

Handan hanım ilginiz ve yardımınız için çok teşekkürler.

20,248 soru
21,774 cevap
73,415 yorum
2,140,542 kullanıcı