Direkt soruyu okumak isterseniz kirmizi renkli soru yazisina kadar ininiz...
Ilk olarak $\Gamma(N)$, $\Gamma_1(N)$ ve $\Gamma_0(N)$ tanimlarini vereyim: $$\Gamma(N) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]\equiv \left[ \begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 1 \end{array} \right] \mod N \right \},$$$$\Gamma_1(N) : = \left \{ \left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a& b \\c & d \end{array} \right] \equiv\left[ \begin{array}{cc}1 & * \\0 & 1 \end{array} \right] \mod N \right \}, $$$$\Gamma_0(N) : = \left \{\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \in SL_2(\mathbb Z) \; : \;\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right]\equiv\left[ \begin{array}{cc}* & * \\0 & * \end{array} \right]\mod N \right \}.$$ 1) Acik bir sekilde $$\Gamma(n) \subset \Gamma_1(N)\subset \Gamma_0(N) \subset SL_2(\mathbb Z)$$ olur.
2) $$\Gamma_1(N) \to \mathbb Z/N\mathbb Z$$ fonksiyonunu $$\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \to b \mod N$$ olsun. Bu durumda bu fonksiyon orten bir homomorfizma ve cekirdegi de $\Gamma(N)$ olur. Hatta bu durumdan dolayi $\Gamma(N) \lhd \Gamma_1(N)$ olur ve $$\Gamma_1(N)/\Gamma(N)\stackrel{\sim}{\to}\mathbb Z/N\mathbb Z$$ ve de $$[\Gamma_1(N): \Gamma(N)]=N$$ olur.
3) Ayni sekilde $$\Gamma_0(N) \to \big(\mathbb Z/N\mathbb Z\big)^*$$ fonksiyonunu $$\left[ \begin{array}{cc}a & b \\c & d \end{array} \right] \to d \mod N$$ olsun. Bu durumda bu fonksiyon orten bir homomorfizma ve cekirdegi de $\Gamma_1(N)$ olur. Hatta bu durumdan dolayi $\Gamma_1(N) \lhd \Gamma_0(N)$ olur ve $$\Gamma_0(N)/\Gamma_1(N)\stackrel{\sim}{\to}\big(\mathbb Z/N\mathbb Z\big)^*$$ ve de $$[\Gamma_0(N): \Gamma_1(N)]=\phi(N)$$ olur.
Soru yazisi:
Geriye kalan $[SL_2(\mathbb Z): \Gamma_0(N)]=N\prod_{p\mid N}(1+\frac1p)$ kismini gosteriniz.
Bu da bize $[SL_2(\mathbb Z): \Gamma(N)]=N^3\prod_{p\mid N}(1-\frac1{p^2})$ oldugunu verir. Bu sayiya neden ulasmak istedik?