Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
675 kez görüntülendi

Gosteriniz: Saatteki sayilarin yerlerinin kafamiza gore degistirdigimizde, siralama nasil olursa olsun, yanyana oyle bir uclu olmak zorunda ki toplami 19'dan buyuk olur.

mesela normal saat siralamasinda $10+11+12 \geq 19$.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 675 kez görüntülendi

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

İstenen  $i\in{1,2,3,4}$  ve $6\leq a_i\leq33$ olmak üzere  :$a_1+a_2+a_3+a_4= 78$ koşulunu sağlayan dört sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu dört sayının her biri saate ait sayıların bir üçlüsü olup her sayı sadece bir üçlüde bulunabilir. 

$6\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq33$ için uygun dizilişler aralarındaki farkın giderek azaldığı durum için: (6,15,24,33),...,(18,19,20,21), (19,19,20,20), (19,19,19,21) şeklinde olacaktır. Zaten  $78=4.19+2$  eşitliği de sayı dizilişlerinde, en az bir kez koşulun sağlandığını göstermektedir.  

(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Eger $a_1,a_2,a_3,a_4$ sayilari $12$'nin $3$'lu toplamlarla parcalanmis hali ise $a_1+a_2+a_3+a_4=\frac {12.13}{2}=78$ yapar. Eger hepsi $\leq 19$ ise $78=a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 19.4=76$ yapar, bu da celiski verir.

Alt sinira ve dizilimlere gerek yok.. Eklenmesi bilgi amacli guzel olmus, eline saglik hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Saatimiz uzerinde herhangi bir siralama alalim: $a_1, \ldots, a_{12}$

Ve su uclu toplamlara bakalim (Amacimiz bu uclu toplamlardan en az birisinin 19'dan buyuk oldugunu gostermek):

$$a_1 + a_2 + a_3 \\ a_2 + a_3 + a_4 \\ a_3 + a_4 + a_5 \\ \vdots \\ a_{10}+a_{11}+a_{12}\\ a_{11} + a_{12} + a_1 \\ a_{12}+ a_1 + a_2$$ 

Bu listede her $a_j$ tam olarak 3 defa yer aliyor. Oyleyse, bu uclu toplamlarin hepsini alt alta yazip toplarsam,

$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12})$$

sayisini elde ederim. Ama $a_1 , \ldots, a_{12}$ sayilari yalnizca $1, 2, \ldots, 12$'nin degisik bir siralanisi. Dogal sayilarda toplama islemi degismeli oldugu icin, 

$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12}) = 3( 1 + 2 + \ldots + 12) = 3\times \frac{12 \times 13}{2} = 234$$

olmasi gerektigini goruruz. Yani, saatteki sayilarin yerini nasil degistirirsek degistirelim, sayilari topladigimizda ve 3 ile carptigimizda sonuc 234'tur.

Bu uclu toplamlarin hepsi 20'den kucuk olsaydi (yani hepsi en fazla 19 olsaydi),

$$234 = 3(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \leq 18 + 18 + \ldots 18 = 12 \times 19 = 228$$

olmak zorunda kalacakti. Ama yanilmiyorsam 234, 228'den kucuk(duzeltme: tabii ki 234, 228'den buyuk). Demek ki bu uclu toplamlardan en azindan bir tanesi 19'dan buyuk olmak zorunda.

(2.5k puan) tarafından 

yazim hatasi var galiba, ama icerik dogru:
.Bu uclu toplamlarin hepsi 19'den kucuk olsaydi (yani hepsi en fazla 18 olsaydi),
.234, 228'den buyuk.

Ooops. Duzelttim. Ayrica Guvercin Yuvasi.
Aa bir dakika. Soruda "yanyana oyle bir uclu olmak zorunda ki toplami 19'dan buyuk olur" diyor. Yani en az 20 olur. Ki ben de onu gosterdim zaten. Verdigin ornekte $\geq 19$ kullanmissin, ama $\geq 20$ de dogru. Soru da bunu soruyor zaten.

Evet, oyleymis :) ben direk cevabi okudum :)

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$'de toplamanın değişmeli olmanın konuyla hiç alakası yok. Bölüm grubunda değişmeli olması bölmeden önce değişmeli olmasını gerektirmez.

Evet. Onu da degistiriyorum. 

20,207 soru
21,731 cevap
73,297 yorum
1,895,394 kullanıcı