saatteki sayilarin yeri

Question

Gosteriniz: Saatteki sayilarin yerlerinin kafamiza gore degistirdigimizde, siralama nasil olursa olsun, yanyana oyle bir uclu olmak zorunda ki toplami 19'dan buyuk olur.

mesela normal saat siralamasinda $10+11+12 \geq 19$.

Answer 1

İstenen  $i\in{1,2,3,4}$  ve $6\leq a_i\leq33$ olmak üzere  :$a_1+a_2+a_3+a_4= 78$ koşulunu sağlayan dört sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu dört sayının her biri saate ait sayıların bir üçlüsü olup her sayı sadece bir üçlüde bulunabilir. 

$6\leq a_1\leq a_2\leq a_3\leq a_4\leq33$ için uygun dizilişler aralarındaki farkın giderek azaldığı durum için: (6,15,24,33),...,(18,19,20,21), (19,19,20,20), (19,19,19,21) şeklinde olacaktır. Zaten  $78=4.19+2$  eşitliği de sayı dizilişlerinde, en az bir kez koşulun sağlandığını göstermektedir.  

Comments

Eger $a_1,a_2,a_3,a_4$ sayilari $12$'nin $3$'lu toplamlarla parcalanmis hali ise $a_1+a_2+a_3+a_4=\frac {12.13}{2}=78$ yapar. Eger hepsi $\leq 19$ ise $78=a_1+a_2+a_3+a_4 \leq 19.4=76$ yapar, bu da celiski verir.

Alt sinira ve dizilimlere gerek yok.. Eklenmesi bilgi amacli guzel olmus, eline saglik hocam.

Answer 2

Saatimiz uzerinde herhangi bir siralama alalim: $a_1, \ldots, a_{12}$

Ve su uclu toplamlara bakalim (Amacimiz bu uclu toplamlardan en az birisinin 19'dan buyuk oldugunu gostermek):

$$a_1 + a_2 + a_3 \\ a_2 + a_3 + a_4 \\ a_3 + a_4 + a_5 \\ \vdots \\ a_{10}+a_{11}+a_{12}\\ a_{11} + a_{12} + a_1 \\ a_{12}+ a_1 + a_2$$  

Bu listede her $a_j$ tam olarak 3 defa yer aliyor. Oyleyse, bu uclu toplamlarin hepsini alt alta yazip toplarsam,

$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12})$$

sayisini elde ederim. Ama $a_1 , \ldots, a_{12}$ sayilari yalnizca $1, 2, \ldots, 12$'nin degisik bir siralanisi. Dogal sayilarda toplama islemi degismeli oldugu icin, 

$$3(a_1 + a_2 + \ldots + a_{12}) = 3( 1 + 2 + \ldots + 12) = 3\times \frac{12 \times 13}{2} = 234$$

olmasi gerektigini goruruz. Yani, saatteki sayilarin yerini nasil degistirirsek degistirelim, sayilari topladigimizda ve 3 ile carptigimizda sonuc 234'tur.

Bu uclu toplamlarin hepsi 20'den kucuk olsaydi (yani hepsi en fazla 19 olsaydi),

$$234 = 3(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) \leq 18 + 18 + \ldots 18 = 12 \times 19 = 228$$

olmak zorunda kalacakti. Ama yanilmiyorsam 234, 228'den kucuk(duzeltme: tabii ki 234, 228'den buyuk). Demek ki bu uclu toplamlardan en azindan bir tanesi 19'dan buyuk olmak zorunda.

Comments

yazim hatasi var galiba, ama icerik dogru:
.Bu uclu toplamlarin hepsi 19'den kucuk olsaydi (yani hepsi en fazla 18 olsaydi),
.234, 228'den buyuk.

---

Ooops. Duzelttim. Ayrica Guvercin Yuvasi.

---

Aa bir dakika. Soruda "yanyana oyle bir uclu olmak zorunda ki toplami 19'dan buyuk olur" diyor. Yani en az 20 olur. Ki ben de onu gosterdim zaten. Verdigin ornekte $\geq 19$ kullanmissin, ama $\geq 20$ de dogru. Soru da bunu soruyor zaten.

---

Evet, oyleymis :) ben direk cevabi okudum :)

---

$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$'de toplamanın değişmeli olmanın konuyla hiç alakası yok. Bölüm grubunda değişmeli olması bölmeden önce değişmeli olmasını gerektirmez.

---

Evet. Onu da degistiriyorum.