Question

Bir uzayın üzerinde $CW$-yapısı olması ne demektir?

Answer 1

 Bazı (aslında "çoğu") topolojik uzaylar cebirsel topolojide yapılması gereken (homotopi, homoloji, kohomoloji grupları) hesaplamalar için pek uygun değildir. Örneğin Singüler homoloji ve kohomoloji hesabı,  hemen hemen her zaman (her düzeyde) sonsuz boyutlu vektör uzayları (veya sonsuz ranklı modüller) oluşan zincir kompleksleri kullanmayı gerektirir. Oysa, örneğin uzay tıkız ise, (varsa) CW kompleks veya Polihedron yapısı  kullanarak bunlar sonluya indirilebiliyor ve hesaplanabilir bir durum ortaya çıkıyor. 

CW kompleksler (değişik boyutlarda) "hücre" denen temel (ama aynı boyutlu hücreler hepsi homemorf değil) yapıtaşlarından oluşmuş uzay demek. CW kompleksler hesaplama işlemleri için oldukça uygun ve yeterince genel uzaylardır. Daha önceleri (örneğin Poincare  Polihedron  kullanılırdı.  Polihedron  da bu işlemler  için uygun ise de, daha fazla hücre gerektiriyor olması ve biraz daha kısıtlayıcı olması dezavantajları vardır. Örneğin bir (2 boyutlu) küreyi üçgenlemek (triangulation) için toplam (en az) 14 "hücre" (simpleks) ( 0-boyutlu simpleks: tek nokta, 1-boyutlu simpleks: bir (kapalı sınırlı) aralık, 2 boyutlu simpleks: dolu üçgen vs.) gerekiyor iken CW komplekslerde (temel taşları) hücreler biraz daha genel olduğundan 2 tane yeterli. Bunun sonucu olarak,  (2 veya daha büyük boyutlu) kürelerin basit bağlantılı olduğu hemen görülebiliyor, oysa ki polihedron  kullanırsak biraz işlem gerekiyor. Kaba bir özetle, CW kompleksler "hücre" lerin sınırında bir yapıştırmaya izin veriliyor, bu işlem (homotopi, homoloji,kohomoloji gruplarının) hesaplarında ciddi bir sorun yaratmıyor. 

İlginç olan bir şey de (2 boyutlu, sonlu sayıda hücreli) CW komplekslerde yine Euler' in formülü (V-E+F in değerinin "üçgenlemeden" bağımsız olması )   geçerli kalıyor (daha geneli de yine geçerli).

Answer 2

Soruya gelirsek. $X$ bir topolojik uzay ve $e_j^i \ (i\geq0)$ (kapalı) alt kümeleri olmak üzere:

$X=\bigcup_{i,j} e_j^i$ ve $X^k=\bigcup_{i\leq k} e_j^i$ ve $\dot{e}_j^i=X^{i-1}\cap e_j^i$ ve her bir $e_j^i$ için ($D^i,\ \mathbb{R}^i$ deki kapalı birim disk) $f_j(D^i)=e_j^i$ ve $f_j:(D^i\setminus S^{i-1})\to (e_j^i\setminus \dot{e}_j^i ) $ homeomorfizma olacak şekilde $f_j:D^i\rightarrow X$ sürekli dönüşümleri ve $X$ üzerindeki topoloji "Closure finite Weak topology" olması gerekli. $e_j^i$ ler $i$ boyutlu hücre ($i$ boyutlu kapalı diskin içte homeomorfizma olacak şekilde görüntüsü) oluyor. Yani $X$ içi disklere homeoemorf alt kümelerinin (hücrelerin) birleşimi. $X$ deki topolojinin bu özelliği $X$ de sürekli fonksiyonları hücreler üzerinde tanımlamızı sağlıyor.

Örnek birim küre $\mathbb{S}^2$ için. $e^0=$bir nokta ve $e^2=\mathbb{S}^2$ $f:D^0\to \mathbb{S}^2$ görüntüsü $e^0$ olan tek dönüşüm, $g:D^2\to \mathbb{S}^2$sınırı $e^0$ a büzen dönüşüm olmak üzere, $\mathbb{S}^2=e^0\cup e^2$: biri 0-boyutlu bir 2 boyutlu iki hücrenin birleşimi.

http://en.wikipedia.org/wiki/CW_complex de epey bilgi var.