Neden köklü sayılar dışarıya kök derecesi tek iken olduğu gibi, çift iken de mutlak değerli bir şekilde çıkıyor?

Question

Hocalarım şimdi kök derecesi çift iken dışarıya mutlak değerli bir şekilde çıkması ve derecesi tek iken de olduğu gibi çıkmasının nedeni nedir? hayattan bir örnek verilebilir mi? Bu (-3).2=-6 sorusundaki gibi.


Neden köklü sayılar dışarıya kök derecesi tek iken olduğu gibi, çift iken de mutlak değerli bir şekilde çıkıyor?

Answer 1

$x_{1}^{2}=a$  ve $x_{2}^{2}=a$ olsun.

$x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=0$ veya $\left (x_{1}-x_{2}\right).\left(x_{1}+x_{2}\right)=0$ olur.

Buradan $x_{1}\neq x_{2}$ nedeniyle $x_{1}+x_{2}=0$ veya $x_{1}=-x_{2}$ olur.

Buradan da anlaşılacağı gibi a'nın kareköklerinden biri negatif diğeri pozitiftir.

Negatif olmayan bir a sayısının karekökleri  $\sqrt{a}$  ve $-\sqrt{a}$  ile gösterilmektedir, ancak burada hangisinin hangi kökü gösterdiği açık değildir.

Yani $\sqrt{9}$ hem 3 hemde -3 olarak çıksaydı $-\sqrt{9}$ da hem 3 hemde -3 olacaktı. 

Böyle bir gösterim kargaşasını engellemek için matematiğin özünü veren kitaplarda şu tarz tanımlar görürüz:

Tanım: $a>0$ ise $\sqrt{a}$ sayısına a'nın pozitif karekökü, $-\sqrt{a}$ sayısına da a'nın negatif karekökü denir.

O halde $\sqrt{4}=\pm2$ yazmak hatalı çünkü $\sqrt{4}$,  4'ün pozitif kökü olarak tanımlanmıştır.

$\sqrt{4}=2$ ve $-\sqrt{4}=-2$' dir.

$\sqrt{a}$ ifadesini açıklarken "karesi a olan sayıyı istiyor" demek yerine "karesi a olan pozitif sayıyı istiyor" diye vurgulamalısınız.

Bunun önemi kök dışına çıkmayan sayılarda daha net anlaşılır.

$x^{2}=5$ ise $x=\sqrt5$ ve  $x=-\sqrt5$ tir.

Comments

Hocam dediklerinizi anladım. Aklıma başka bir soru takıldı cevabınızdan. Dediniz ya bu kargaşayı engellemek için şöyle tanımlar eklendi diye. Yani biz oradaki karekök 4 = -2 olarak göstersek sırf öyle tanımlanmadığı için hatalı olması yanlış olmaz mı? Sonuçta  -karakök 4 de pozitif karekök 4 de aynı kökleri gösteriyor.  Bir de bu kargaşa engelleyici tanım ileri düzey matematiksel işlemlerde yanlışa sürüklemez mi? Mesela bir astrofizik,klasik veya kuantum fiziğinde doğadan herhangi bir şeyin bir teorisinin matematiksel formülünü bulmaya çalışırken işlemin herhangi bir yerinde bu tanıma göre karakökleri karakök dışına  çıkarsak bizi yanlışa sürüklemez mi? O kitaplarda bu tanımı verenlerin bu tanımı gerçek doğadaki matematiğe göre yanlış olsa demek istediğim.

Özetlersek Karakök 9 u dışarıya 3 olarak çıkartarak göstermemiz sonucu yanlışa götürse ama karakök 9 u dışarıya -3 olarak çıkartıp işleme devam etmemiz doğru sonucu götürme ihtimali olamaz mı? Bizde o kargaşayı ortadan kaldıran tanımlardan dolayı yanlış sonuca gidemez miyiz?

Bu düşüncem aslında matematiği genel anlamda kapsıyor. Yeri gelmişken şunu da burada size sorayım. Genel olarak matematiği ele alırsak nasıl başlarda klasik fizik varken sonra kuantum fiziği ortaya çıktı matematikte de şuanki matematiğin dışında bir matematik var mıdır? Biz herşeyi bu bildiğimiz matematikle açıklıyoruz bazı şeyleride açıklamaya çalışıyoruz. Ama Açıklayamadığımız şeylerin matematiği farklıysa şuanki matematikten farklı bir matematik var mıdır? Ben pek bilgili değilim matematik konusunda o yüzden aklıma böyle sorular takılıyor. Biraz da şüphecilikten. :D Umarım anlatabilmişimdir.

---

Sayın Hocam -karekök4 ve körekök4 aynı kökleri göstermiyor, yukarıda asıl onu açıklamaya çalıştım. Bunların kareleri aynı ama o sayılar birbirinden farklı. Buradaki önemli olan şey karesi a olan sayının iki tane kökünün varlığı. Bu kökleri göstermek için karekök tercih ettiğimiz bir gösterim tarzı. Matematik tanım-teorem ve ispat üzerine kuruludur. Bu şuna benzer bir çemberi 360 eş parçaya böldüğünüzde bu parçaların her birine 1 derece denir. Başka biride çıkar 600 parçaya böler ve her birine bir isim uydurur.Mesele merece diyelim. Bu bulunduğu çoğrafyada yayılır, dünya çapında kullanılmaya başlar. O zaman herkesin tercih edeceği kavram derece değil merece olur. Ama gerçeklik olarak 360 derece=600 merecedir. Burada önemli olan kullanışlılığı ve evrensel olmasıdır. Düşününsene 360 sayısının böleni o kadar çokturki büyük kolaylık sağlar. Yani anlatma çalıştığım tanımlar, durumları daha iyi anlamak için yapılır. Orada iki kök var birisi artı diğeri eksi, bunun gösteriminden net bir şekilde hangisinin artı hangisinin eksi olduğunu anlamanız gerek. Ama Türkiye'deki öğretimde karekökü(a)'yı, karesi "a" olan sayı olarak öğrettiklerinden bu tanım anlaşılmakta zorluk yaratıyor. Tekrar söylüyorum karekök(a) karesi a olan pozitif sayıdır. 

Ayrıca karmaşık sayılarda köklü ifadelerdeki bir çok işlem farklılık gösterir. Orada da bazı durumları farklı tanımlarız. Bu durumları daha iyi anlamak için yapılan bir şeydir. Sorun yaratmaz.

Diğer sorularınıza gelince bazen bir şeyi ispatladığımı düşünüyorum birde bakıyorumki milattan önce birileri ispatlamış. Yani matematik yenilikere açıktır ama diğer bilimler gibi geçmişiyle zaman zaman çelişmez nettir,gerçek dünyanın soyut algısıdır. Matematiğinde bir sürü dalı vardır. Hatta bazı tanımlar bazı dallarda farklılık bile gösterir. Matematiği dışardan anlamak zordur, içine dalınca sizi alıp götürdüğü yerlerde her zaman öğrenecek, düşünecek ve anlamaya çalışacağınız bir durum mümkündür.Büyük bir deryadır ve her bilimin yaslandığı temel düşünme yapılarını içerir.

Saygılar,selamlar...

---

Tamam hocam şimdi daha iyi anladım sağolun ilgilendiğiniz için. İyi akşamlar, saygılar. :)

---

Sizde sağ olun, benden de saygılar...

Answer 2

Bu konuda http://matkafasi.com/604/karekok-1 sayfasındaki cevabımı okuyabilirsin. O yanıta burada eklenecek şey şu. 

$$x^3=A$$

denklemininin bir tane reel kökü vardır. Bu yüzden görüntü kümesi reel sayılar olan bir fonksiyon tanımlamak istediğimizde yapmamız gereken seçim aşikar.

Answer 3

Sadece kök derecesi(kuvveti) çift iken mutlak değer içerisinde çıkar.

Örneğin $ \sqrt{x} =a $ olsun. Burada kökün kuvveti ikidir. a bir reel  sayısı olsun. Bu eşitliğin karesi alınınca $x=a^2$ olacaktır. dolayısıyla x, bir sayının  karesi olduğundan daima pozitif olacaktır. n çift bir doğal sayı olmak olsun ve $\sqrt[n]{x^n} =b$ olsun. Burada ıxı =b olup, x daima pozitif bir değerdir.

Bir reel sayının mutlak değeri, o sayının sıfıra olan uzaklığı olarak tanımlanmaktadır. Uzaklık en küçük sıfırdır ya da pozitif bir değerdir. Ama  $\sqrt[n]{x^n} =b$ ifadesinde n tek bir doğal sayı ise sonuç x tir. Yani x negatifse sonuç negatif,x pozitif ise sonuç pozitiftir.