O cevabı zamanında ben vermiştim, bunu açıklamak da bana düştü galiba.
Öncelikle 1) kısmına bakalım. Tabii ki Q⊂Q(√2) ifadesi doğru. Q√2⊂Q(√1−√2) olduğunu göstermek için, √2∈Q(√1−√2) olduğunu göstermek yeterli ama bu tabii ki doğru çünkü, √1−√2∈Q(√1−√2), yani 1−√2=(√1−√2)2∈Q(√1−√2), yani √2=1−(1−√2)∈Q(√1−√2).
2) için şunları doğrulamak gayet kolay,
-
√2'nin Q üzerindeki minimal polinomu x2−2
- √1−√2'nin Q(√2) üzerindeki minimal polinomu x2−(1−√2)
- √1−√2'nin Q üzerindeki minimal polinomu x4−2x2−1
Şimdi Q(√2) cismi x2−2 polinomunun Q üzerindeki parçalanış cismi (splitting field), demek ki Q(√2)/Q normal, benzer olarak Q(√1−√2) cismi x2−(1−√2) polinomunun Q(√2) üzerindeki parçalanış cismi, demek ki Q(√1−√2)/Q(√2) de normal. Ama Q(√1−√2) cismi, x4−2x2−1 polinomunun Q üzerindeki parçalanıl cismi değil, çünkü x4−2x2−1 polinomunun tüm kökleri Q(√1−√2) cisminin içinde değil. Daha açık olmak gerekirse, x4−2x2−1=(x2−1)2−2 polinomunun kökleri ±√1+√2 ve ±√1−√2 olarak bulunur. Sıkıcı işlemler sonrasında, ±√1+√2∉Q(√1−√2) olduğunu gösterebiliriz.