Normal genislemenin normal genislemesinin normal olmadigi icin verilen ornegin incelenmesi

Question

1) $\mathbb Q \subset \mathbb Q(\sqrt2) \subset \mathbb Q(\sqrt{1-\sqrt2})$  dogru mu?
2) "Aralardaki iliski  normal, distaki iliski normal degil"  bu neden dogru?

Not: Soruyu ilgili cevabin daha iyi anlasilmasi icin soruyorum.

Answer 1

O cevabı zamanında ben vermiştim, bunu açıklamak da bana düştü galiba.

Öncelikle 1) kısmına bakalım. Tabii ki $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ifadesi doğru. $\mathbb{Q}\sqrt{2}\subset\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ olduğunu göstermek için, $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ olduğunu göstermek yeterli ama bu tabii ki doğru çünkü, $\sqrt{1-\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$, yani $1-\sqrt{2}=(\sqrt{1-\sqrt{2}})^2\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$, yani $\sqrt{2}=1-(1-\sqrt{2})\in\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$.

2) için şunları doğrulamak gayet kolay,

• $\sqrt{2}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerindeki minimal polinomu $x^2-2$
• $\sqrt{1-\sqrt{2}}$'nin $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ üzerindeki minimal polinomu $x^2-(1-\sqrt{2})$
• $\sqrt{1-\sqrt{2}}$'nin $\mathbb{Q}$ üzerindeki minimal polinomu $x^4-2x^2-1$

Şimdi $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ cismi $x^2-2$ polinomunun $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanış cismi (splitting field), demek ki $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ normal, benzer olarak $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cismi $x^2-(1-\sqrt{2})$ polinomunun $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ üzerindeki parçalanış cismi, demek ki $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ de normal. Ama $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cismi, $x^4-2x^2-1$ polinomunun $\mathbb{Q}$ üzerindeki parçalanıl cismi değil, çünkü $x^4-2x^2-1$ polinomunun tüm kökleri $\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$ cisminin içinde değil. Daha açık olmak gerekirse, $x^4-2x^2-1=(x^2-1)^2-2$ polinomunun kökleri $\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}$ ve $\pm\sqrt{1-\sqrt{2}}$ olarak bulunur. Sıkıcı işlemler sonrasında, $$\pm\sqrt{1+\sqrt{2}}\notin\mathbb{Q}(\sqrt{1-\sqrt{2}})$$ olduğunu gösterebiliriz.