Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.6k kez görüntülendi

$xy$ düzlemdeyiz ve elimizde rastgele bir $(a,b)$ noktası var. Bu noktanın $x=y$ doğrusuna göre simetriğini bulmayı biliyoruz.

Şimdi de $xyz$ uzaydayız ve elimizde rastgele bir $(a,b,c)$ noktası var. Bu noktanın $x=y=z$ doğrusuna göre simetriği nedir?

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.1k puan) tarafından  | 1.6k kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
İki kez yanlış yaptıktan sonra döndürü matrisleriyle doğrusunu yazayım. Bu haliyle ortaöğretim değil de lisans sorusu gibi olacak bu ama.

Yapacağımız şu: $(1,1,1)$ eksenini döndürerek $x$ ekseni ile çakışık hale getireceğiz, sonra simetriyi $x$ eksenine göre alacağız, sonra tekrar döndürerek $x$ eksenini $(1,1,1)$ eksenine çevireceğiz.

$x$ eksenini $(1,1,1)$ yönüne çevirmek için, önce $z$ ekseni etrafında 45 derece, daha sonra yeni $y$ ekseni etrafında $\theta$ kadar döndürmek gerekir. Burada $\theta$, $(1,1,1)$ vektörünün $xy$ düzlemi ile yaptığı açı. Yani $\displaystyle \cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ ve $\displaystyle \sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Döndürü matrislerini yazalım:
$\displaystyle D_y=\left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & 0 & -\sin{\theta} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin{\theta} & 0 & \cos{\theta} \end{array} \right)$
$\displaystyle D_z=\left( \begin{array}{cc} \cos{45} & -\sin{45} & 0 \\ \sin{45} & \cos{45} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
$x$ eksenine göre simetri matrisi de şu:
$\displaystyle S_x=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \right)$
Bunlar orthogonal olduğu için tersleri simetriklerine eşittir. Artık simetriyi bulabiliriz:
$D_zD_yS_xD_y^ {-1}D_z^{-1} \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} -a/3+2b/3+2c/3 \\ 2a/3-b/3+2c/3 \\ 2a/3+2b/3-c/3 \end{array} \right)$


(236 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

sonuç çok karmaşık çıkmadığına göre herhalde daha basit bir yolu vardır.

Aslında soru orta öğretim sorusu mu, bilmiyorum. İlk bakışta kolay gibi duruyor ama belli ki değil. Ben de beceremedim temel araçlarla. Eminim ince bir noktası vardır.

20,248 soru
21,774 cevap
73,419 yorum
2,147,637 kullanıcı