Question

Bir cismin cebirsel kapalı (algebraically closed) olması o cisme ne tür özellikler kazandırır?

Answer 1

Pek cok birbirine denk ozellik sayilabilir/

$K$ cebisel kapali bir cisim ise

1- Tanim geregi, butun polinomlarin koku vardir,

2- Tanim geregi, indirgenemez polinomlarin birinci dereceden olmak zorundadur,

3- $K[X_1,\cdots X_n]$ polinom halkasinin maksimal idealleri $(X_1-a_1,\cdots,X_n-a_n)$ biciminde olmak zorundadir (Hilbert Nullstellansatz)

4- Kendinden baska cebirsel genislemesi yoktur,

Mesela boyle cisimler uzerine tanimli cebirsel gruplar da cok daha guzel davranirlar. Ama o tip aciklamari uzmanlari yapsin. Ben ancak yukaridaki gibi asikarlarini yazabilirim.

Comments

Cevabınız için öncelikle teşekkür ediyorum. Merak ettiğim $F$ cebirsel kapalı bir cisim iken $Mat_{2}(F)$ ($F$ üzerine kurulan $2 \times 2$ tipinde matris halkası) nin özelliklerinde değişmeler olur mu? Yani kazanımlar ne olur acaba?

---

Mesela köşegenleştirme kolaylaşır. 

---

Tum kare matrisler ucgenlestirilebilir.

---

Hatta bu boyutu ikiden büyük matrisler için de geçerli.

---

Tüm kare matrislerin üçgenleştirilebilinir olmasına yönelik ispatı nerede bulabilirim? Aradığım şey tam olarak bu.

---

http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_decomposition