İntegral

Question

$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (tanx)^n dx$ ve $f(n)=I_{n}+I_{n+2}$ ise $\sum_{n=1}^{10}  f(n).(n+1)=?$

Answer 1

Öncelikle $I_n=\int tan^nxdx$ inteğralini hesaplayalım.

$I_n=\int tan^{n-2}x.tan^2xdx$

$=\int tan^{n-2}x.(sec^2x-1)dx$

$=\int tan^{n-2}x.sec^2xdx-\int tan^{n-2}xdx$

$=\int tan^{n-2}x.d(tanx)-\int tan^{n-2}xdx$, burada $tanx=u$ denirse $d(tanx)=du, tan^{n-2}x=u^{n-2}$ olacaktır. Ayrıca da $\int tan^{n-2}xdx=I_{n-2}$ denirse;

$I_n=\int u^{n-2}du-I_{n-2}=\frac{u^{n-1}}{n-1}-I_{n-2}=\frac{tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2},\quad n\geq 2$ indirgeme formülünü elde ederiz.

$I_n=\frac{tan^{n-1}x}{n-1}-I_{n-2}.........(*)$

$I_0=\int_0^{\frac{\pi}{4}} dx=\frac{\pi}{4}$

$I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} tanxdx=-ln|cosx|]_0^{\frac{\pi}{4}}=-ln\frac{\sqrt2}{2}$,$I_2=tanx-\frac{\pi}{4}$, 

Diğer taraftan :$\sum_{n=1}^{10}f(n).(n+1)=2f(1)+3f(2)+4f(3)+...+11f(10)$

$\sum_{n=1}^{10}f(n).(n+1)=2(I_1+I_3)+3(I_2+I_4)+4(I_3+I_5)+...+11(I_{10}+I_{12})$

$=2I_1+3I_2+6I_3+8I_4+10I_5+12I_6+14I_7+...+20I_{10}+10I_{11}+11I_{12}$

İndirgeme formülü yardımıyla bu toplam hesaplanmalıdır.

Comments

Müthiş bir yorum hocam.Ben bu kadar gelememiştim.