Seriler

Question

0,3+0,33+0,333+0,3333+...... serisinin değeri kaçtır? 1/3 e yakınsadığını düşünüp birşeyler yapmaya çalıştım ulaşamadım bir sonuca teşekkürler

Comments

Sanırım seriniz ıraksak.

Answer 1

$0,3+0,33+0,333+0,\underbrace{333...3}_{n}+...$ olsun.Bu serinin ilk $n$ terim toplamı $S_n$ ise  $(S_n)$ kısmi toplamlar dizisinin $\lim_{n\to\infty}S_n$ ne olduğuna bakmalıyız.

$$S_1=a_1=0,3$$$$S_2=a_+a_2=0,3+0,33=0,63$$$$S_3=a_1+a_2+a_3=0,3+0,33+0,333=0,663$$$$...$$ $$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n=0,3+0,33+0,333+...0,333....3=0,666...63$$ olacaktır. Burada $S_1<S_2<S_3<...<S_n$ olduğunu,yani bu serinin $n.$ kısmı toplar dizisinin terimlerinin giderek büyüdüğünü görmekteyiz. Yani $\lim_{n\to\infty}S_n=\infty$  olduğundan verilen seri ıraksaktır.

Comments

Seriyi doğru yazdığımıza emin miyiz?

Seri bana ıraksak göründü.Çünkü her eleman öncekinden daha büyük.

---

Bulunan son terimin kaç olduğu. Toplam değil. Haklısın, dexor.

---

Cok Teşekkür ederim Hocalarım

---

Cozumde hatalar mevcut. Ilk olarak toplam $0.66666666...3$ degil, bunu gormek icin $S_3$'e bakmak yeterli. Boyle giden bir toplamin artan oldugu asikar, fakat artan diziler ustten siniri oldugu zaman da limiti olur, bu sekilde olsaydi gercekten limit var olup $0,\bar6$ olurdu.

Answer 2

Her terim ilk terimden büyük o zaman $n$ adet terimin toplamı $0,3n$'den büyük olur. Bunun limitini alınca sonsuza gider. Bu durumda seri de ıraksar.

Araları tamamlamak, güzel bir ispat yazmak da zor değil. Okuyucular bu kısmı halledebilir.