$\sum_{n=1}^{\infty}arctan\frac{1}{2n^2}=?$
Nasil bir cevap bekleniyor bilmiyorum ama $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac {\pi}6$ oldugu bilindik. Bunun yarisi istenen.
Cevap $\frac{\pi}{4}$ hocam. Bugün hocam sordu harika bir çözümü var bakalım görebilecek misin dedi. Cevabı buldum ama çözümü bulamamıştım şunu söyleyebilirim çözüm gerçekten güzel.
Cozumu bu $\frac{\pi}3$. Diger cozumde hata olamaz mi?
Hocam 2 yoldan bulduk. En azından 1 çözüm var ben de teker teker ekleyerek bulduğum seriyi ispatladım yani cevap büyük olasılıkla doğru.
Yukarida kafam gitmis, yarisi $\frac{\pi}{12}$ yapar. Bu da wolfram linki.
Toplamın $\frac\pi4$ olduğunun ispatını merak ettim. Yazabilir misiniz?
Hocam soruyu yanlış yazmışım bu aralar çok yapıyorum bunu ama. Bi dahakine daha dikkatli olurum inşallah.
Soru altina yorum olarak duzenledim cevabi. Cevapsizlar listesine epey geriden girdi. Bu (tarz bi) soru vardi sitede sanki, emin degilim.
$arctan\frac{1}{2n^2}=arctan\frac{2}{4n^2}=arctan\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n-1)(2n+1)}=arctan(2n+1)-arctan(2n-1)$
$\sum_{n=1}^\infty arctan(2n+1)-arctan(2n-1)=arctan\infty-arctan1=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$
Toplam sembolünden sonraki sonsuz hatalı bir yazım, sonsuz bir sayı değil.
Hocam peki tanımlara uygun bir şekilde nasıl gösterebiliriz? Bu arada bu çözüm cidden hoşuma giden bir çözüm.