Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
351 kez görüntülendi

$\sum_{n=1}^{\infty}arctan\frac{1}{2n^2}=?$

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 351 kez görüntülendi


Nasil bir cevap bekleniyor bilmiyorum ama $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{n^2}=\frac {\pi}6$ oldugu bilindik. Bunun yarisi istenen.

Cevap $\frac{\pi}{4}$ hocam. Bugün hocam sordu harika bir çözümü var bakalım görebilecek misin dedi. Cevabı buldum ama çözümü bulamamıştım şunu söyleyebilirim çözüm gerçekten güzel.

Cozumu bu $\frac{\pi}3$. Diger cozumde hata olamaz mi?

Hocam 2 yoldan bulduk. En azından 1 çözüm var ben de teker teker ekleyerek bulduğum seriyi ispatladım yani cevap büyük olasılıkla doğru.

Yukarida kafam gitmis, yarisi $\frac{\pi}{12}$ yapar. Bu da wolfram linki.

Toplamın $\frac\pi4$ olduğunun ispatını merak ettim. Yazabilir misiniz?

Hocam soruyu yanlış yazmışım bu aralar çok yapıyorum bunu ama. Bi dahakine daha dikkatli olurum inşallah.

Soru altina yorum olarak duzenledim cevabi. Cevapsizlar listesine epey geriden girdi. Bu (tarz bi) soru vardi sitede sanki, emin degilim. 

Hocam bu aralar cok dikkatsizlik yapiyorum bu sekilde 2-3 soruyu daha yanlis yazdim kusura bakmayin tekrardan.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$arctan\frac{1}{2n^2}=arctan\frac{2}{4n^2}=arctan\frac{(2n+1)-(2n-1)}{1+(2n-1)(2n+1)}=arctan(2n+1)-arctan(2n-1)$

$\sum_{n=1}^\infty arctan(2n+1)-arctan(2n-1)=arctan\infty-arctan1=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

(2.9k puan) tarafından 

Toplam sembolünden sonraki sonsuz hatalı bir yazım, sonsuz bir sayı değil.

Hocam peki tanımlara uygun bir şekilde nasıl gösterebiliriz? Bu arada bu çözüm cidden hoşuma giden bir çözüm.

18,695 soru
20,898 cevap
68,437 yorum
20,715 kullanıcı