Question

$5$ in herhangi bir kuvveti kaç basamaklıdır kısaca nasıl bulunur?

Answer 1

$\log_{10} 10 =1, \log_{10} 100 =2, \log_{10} 1000 =3, \dots$ eşitliklerine bakınca ve logaritmanın özellikleri üzerine biraz düşününce göreceksiniz ki herhangi bir $n$ pozitif tamsayısı için $\log_{10} n$ gerçel sayısından büyük en küçük tamsayı $n$'nin onluk düzendeki basamak sayısına eşittir (bu özellik herhangi bir tabana genelleştirilebilir).

Dolayısıyla $5^k$'nın onluk düzende kaç basamaklı olduğunu $\log_{10} 5^k=k \log_{10} 5$ sayısını hesaplayarak bulabilirsiniz.

Answer 2

Bir önceki yanıtın anlamlı olması için $\log_{10}5$ reel sayısının da hesaplanması gerek elbette. Genel olarak $\log_{10}2$ reel sayısı için $0.30102999$ iyi sayılabilecek bir yaklaşım olduğu bilinmekte. Bu bilgiyi ve logaritma fonsiyonunun çarpmayı toplamaya çevirmesini kullanarak şu eşitlik bulabilir:

$$1=\log10=\log(2\times5)=\log2+\log5=\log5+ 0.30102999$$.

Buradan da $\log5$ reel sayısı için yaklaşık bir sonuç bulunur. Kısaca $\log5$ reel sayısını yaklaşık olarak $0.69897991$. Bu sonuç yukarıdaki cevapta kullanılarak sorunun yanıtı bulunabilir. Örneğin $5^{10}$ sayısının

$$10\times 0.69897991=6.9897991$$

"basamaklı", yani $7$ basamaklı olduğu sonucu çıkar.

 

Peki, bu $\log2$'yi yaklaşık olarak nasıl bulduk? Aynı soruyu $5$ yerine $13$ için sorsaydık $\log13$'ü nasıl bulup soruyu çözecektik? Ve logaritma değerleri için bulduğumuz yaklaşık sonuçlar bulacağımız basamak sayısında bazen yanılmamızı sağlayabilir. Bunun önüne geçmek için logaritma değeri için yaptığımız kestirimin ne kadar iyi olduğunu bilmemiz gerekir (yani, gerçek değerinden uzaklığı için bir üst sınır). Bu kestirimi nasıl yapabiliriz?

Bunun için yeni bir soru başlığına gereksinimimiz var sanırım. Onu da şurada bulabilirsiniz: http://matkafasi.com/501/logaritmalarini-istedigimiz-yakinlikta-hesaplayabiliriz

Yakında birisi yanıtlar umarım.