Üç asal sayı

Question

Kaynak: http://www.georgmohr.dk/nmcperm/probl/2015/uk.pdf

p,q,r asal sayılarını bulunuz, öyle ki, p.q.r ve p+q+r sayılarından biri ,

diğerinin 101 katı olsun.

Comments

En büyük sayı r  olarak alınabilir. 101 asal sayı.

Answer 1

$pqr=101(p+q+r)$ olduğuna göre $101/ pqr$ olmalı. Ama $p,q,r$ asal olduğuna göre birisi 101'e eşit olmalı. Diyelim $p=101$ olsun.

$101qr=101(101+q+r)$

$qr=101+q+r$

$qr-q-r=101$ düzenleyip her iki tarafa 1 ekleriz,

$q(r-1)-r+1=101+1$

$(q-1)(r-1)=102$

$102=2.3.17$ ,tek bir 2 çarpanı olduğuna göre $q-1$ ve $r-1$ birden farklı olursa birisi tek birisi çift olacak, bu durumda $q$ ve $r$den birisi 2'den büyük ve çift olacak, ama $q$ ve $r$ asaldı.

Demek ki $q-1$ veya $r-1$den biri 1, diğeri 102 olacak. Diyelim $q-1=1$, $r-1=102$ olsun, $p=101$, $q=2$, $r=103$ sayıları bu koşulu sağlar.

Comments

101 katı yerine 102 katı denseydi , üç asal sayı bulunabilir miydi?

---

Bulunamazdı, o zaman $102/p.q.r$ ve asallık dolayısıyla $p=2, q=3, r=17$ olacak, buradan

$102=102.(2+3+17)$ gelir. Aslında asal olmayan bir katı dendiğinde koşulu sağlayan $(p,q,r)$ üçlüsü bulamayız.