$y^2=8x$ ve $x^2=8y$ parabollerinin ortak teğetlerinin denklemi nedir?

Question

x+y+5=0

x+y+3=0

x+y+4=0

x+y+2=0

x+y+1=0

Answer 1

Ortak teğet doğrusu $y^2=8x$ parabolüne $A(\frac{a^2}{8},a)$ noktasında ve $x^2=8y$ parabolüne $B(b,\frac{b^2}{8})$ noktasında teğet olsun. $A$ dan çizilen teğet,  $B$ den çizilen teğet ve  $A,B$ noktalarından geçen doğru aynı doğru olduğundan eğimler eşittir. Teğetlerin eğimini (türev yardımıyla veya başka yolla) ve iki noktası bilinen doğrunun eğimini yazarsak

$$\frac{4}{a}=\frac{b}{4}=\frac{\frac{b^2}{8}-a}{b-\frac{a^2}{8}}$$

elde ederiz. $b=\frac{16}{a}$ olur ve 3. yerine yazıp denklemi çözersek $a=-4$ bulunur. Buradan teğet denklemide $x+y+2=0$  elde edilir.