Soru birkac asamadan olusuyor, ve ben cevabi biliyorum. Ama lisans ogrencisiyseniz uzerinde dusunmeye deger bir soru oldugunu dusunuyorum.
0) Reel sayilarda $x^2 = 1$ denklemini nasil cozdugumuzu hatirla: $$x^2 = 1 \implies x^2 -1 = 0 \implies (x+1)(x-1) = 0 \\ \implies x +1 = 0 \text{ ya da } x - 1 = 0 \\ \implies x = -1 \text{ ya da } x = 1$$
1) $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, -I = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ ve $W = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ olmak uzere $I^2 = (-I)^2 = W^2 = I$ oldugunu gozlemle. $x^2 = I$ denkleminin en az uc cozumu olduguna ikna ol. (Karakteristik nedir biliyorsan, kendini buna ikna etmek icin calistigin halkanin karakteristigi uzerine bir kisitlama getir, ya da baska bir ucuncu ornek bul.)
2) Simdi bir onceki maddeyi bildigini unut. Sunu kanitlamaya calis: "$A^2 = I$ ise $A = I$ ya da $A = -I$ olmalidir.". Dogal olarak kanitlayamayacaksin cunku bunun dogru olmadigini biliyorsun. Cunku birinci maddeyi unut dedim, ama unutamadin. $A^2 =I$ ise $A = W$ da olabilir (bir onceki maddeye bak). Ama sen yine de kanitlamaya calis. Sifirinci maddeye don. Orada yaptigini yapmaya calis:
$$A^2 = I \implies A^2 - I = 0 \\ \implies (A+I)(A - I) = 0 \\ \implies A+I = 0 \text{ ya da } A - I = 0 \\\implies A = - I \text{ ya da } A= I$$
Bu HATALI. Cunku sonucun dogru olmadigini biliyoruz.
Soru: Hata hangi okta? Ya da birden fazla okta hata varsa, ilk hata hangi okta? Ok derken $\implies$ isaretinden bahsediyorum.