Bir Oran-orantı sorusu bir türlü yapamadım...

Question

Kenar uzunlukları tam sayı olan bir dikdörtgenin

köşegeninin uzunluğunun çevresine oranı 5/14

olduğuna göre uzun kenarının uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?

a) 4             c) 8

b) 6             d)12            e)16

Answer 1

Dikdörtgenin kenarları $a$,$b$ olsun;

$\frac{Köşegen Uzunluğu}{Çevre}=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2(a+b)}=\frac{5}{14}$

$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{(a+b)}=\frac{5}{7}$ (1) bu denklemden $a=4,b=3$ bulunur.

Uzun kenar $a$ ise şıklardan $4$'ün katı olmayan $b)6$ uzun kenar olamaz. Diğer şıklar $4$'ün katıdır.

Düzenleme;

Denklemin çözümü için (1) nolu denklemde karşılıklı olarak pay ve paydalar birbirine eşitlenir.

$\sqrt{a^2+b^2}=5$ ve ${(a+b)}=7$

$a^2+b^2=25$ (2) ve $(a+b)^2=7^2$ (3) (denklemlerin kareleri alınır.)

(3)' de parantez kare açılımı yapılır. $a^2+2ab+b^2=49$

$a^2+b^2$ yerine $25$ yazılır. Neticede $ab=12$ bulunur.

Burada $b$ yerine $b=7-a$ yazılır.

$a(7-a)=12$ Bu denklemi çözdüğünde iki kök bulursun (3 ve 4) 3 ü seçersen b=4=(7-3) olur yada tam tersi.

ama test çözümünde $\sqrt{a^2+b^2}=5$ şu ifadeden 3 ve 4 ü yakalamalısın (3,4,5 dik üçgeni)

Comments

Bu denklemden a=4 ve b=3 bir türlü bulamadım. Önce karesini alıp sonra denklemi çözmüyor muyuz? Ben bir türlü çıkaramıyorum. Neyi kaçırıyorum anlamadım...

---

Cevaba düzenleme ekledim.

---

Teşekkürler.

Answer 2

Diger cevaptan farki yok. Sadece bana gore biraz kisasi:

$a^2+(7-a)^2=5^2$  denklemi cozulmeli. Burdan $a=3$ ve $7-a=4$ gelir. Demek ki uzun kenar $4$'un kati olmali.

Neden o denklem cozulmeli. Kenarlar $ak$ ve $(7-a)k$ seklinde olmali. Tabi $k$'lar oran icerisinde sadelesiyor.