$f=x^3\chi_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}+\chi_{\mathbb{Q}}$ fonksiyonu $[0,1]$ aralığında integrallenebilir mi?

Question

(Riemann integrali)

---

$\chi$ ile karakteristik fonksiyonu gösteriyorum, yani bu sembolün altına yazılan kümedeki elemanların görüntüsü $1$, diğer elemanların görüntüsü $0$.

Comments

$f(x)=\begin{cases}1\ \ \quad x\in\mathbb{Q}\\x^3\quad x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$ olup, 1 dışında her sayıda süreksizdir.

---

Alsinda  $x^3$ yerine $x$ yazildiginda standart Riemann integrali olmayan ornege donusuyor.

Answer 1

Doğan hocanın yorumuyla beraber, işlem yapmadan integrallenmez olduğu sonucunu çıkartabiliriz. 

Comments

Littlewood'un inkici prensibi gereği.

---

İkinci prensip der ki, ölçülebilir fonksiyonlar neredeyse süreklidir.

---

http://matkafasi.com/15136/analizdeki-littlewood-prensipleri-nelerdir?show=15136#q15136

Answer 2

Alt toplam ile ust toplam farkli geleceginden cortlar. Alt toplam $0$ ile $1$ arasinda $x^3$'un integraline ve ust toplam da $1$'in integraline esit olur. Biri $1/4$, degeri $1$.