Üçgende köşe kapmaca

Question

Bir üçgen var, $ABC$ üçgeni. Birinci oyuncu $BC$ kenarından bir nokta seçiyor. Sonra ikinci oyuncu $AC$ kenarından bir nokta seçiyor. Son olarak üçüncü oyuncu $AB$ kenarından bir nokta seçiyor. Oyuncuların nokta seçimindeki kıstasları şu: Birinci oyuncu seçilen üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanının olabildiğince büyük, ikinci oyuncu da aynı üçgeninin alanının olabildiğince küçük olmasını istiyor.

Ne olur?

Comments

İlk olarak 2. oyuncu en az alan oluşturmak istediği için C kenarını seçicektir çünkü 1.oyuncu BC kenarından seçim yapcaktır . 1.oyuncu 2. oyuncunun bu hareketi yapacağını bildiğini ve B kenarını seçmesi alanı en büyük yapacaktır 3.oyuncu için bir kıstas olmadığı için rastgele bir nokta seçecektir. Daha güzel bir cevabı olması gerektiğine inanıyorum tabi

---

Oyuncular oyunun başında, birbirinin nokta seçim strajelerini (kıstaslarını ) biliyorlar mı? Birde her oyuncu diğeri/diğerleri ile aynı kenar üzerinde nokta seçemiyeceğini biliyor mu?

---

Kıstaslar biliniyor. Oyuncular oyunun kurallarını da biliyorlar.

---

1)Birinci oyuncu eğer $[BC]$ kenarında $B,C$ noktaları haricinde bir nokta seçerse, ikinci oyun alanın küçük olması için $B$ ya da $C$ noktasını seçecektir.Bu seçimi ilk oyuncunun $[BC]$'deki seçimine ve alanının en küçük olmasına göre ayarlayacaktır. Eğer ilk oyuncu $[BC]$ nin ortasını seçerse ,ikinci oyuncunun kesinlikle  $B,C$ noktalarından birisini mutlaka seçecek fakat, hangisini seçtiği pek önemli olmayacaktır.Üçüncü de kesinlikle $A$  köşesini seçecektir.

2)Eğer ilk oyuncu $B,C$ noktalarından birisini seçerse, ikinci oyuncu da aynı noktayı seçecektir. Çünkü bu iki nokta her  iki kenarın kesişimindedir. Üçüncu oyuncuda hangi noktayı seçerse seçsin sonuçta alansal değer sıfırdır.

Sonuç olarak seçimler sonucunda oluşacak alanın sayısal değeri :$s$ ise $0\leq s \leq A(ABC)/2$ olacaktır.

---

Hocam bu açıklama çok sezgisel ve kanıt niteliğinde değil. Daha açık biçimde, daha kesin sonuçlara varmak mümkün. Hatta sonuçta belirecek üçgenin alanını tüm üçgenin alanına oranını ne olmak zorunda olacağını söylemek de mümkün.