Question

$(-2)^\sqrt2$ sayisi reel midir?

Answer 1

(Taban negatif olduğundan) Reel (gerçel) sayılardaki üs tanımı bu duruma uygulanamayacağına göre; bu sayıları karmaşık sayı olarak düşünüp, (çok değerli) üs hesaplayalım.

$z\neq0\text{ iken }z^w=e^{w\log z}$ olarak tanmlanır.

$\log z=\ln|-2|+i\arg (-2)=\ln2+i\,(\pi+2n\pi)=\ln2+i\,(2n+1)\pi \quad(n\in\mathbb{Z})$ dir.

$(-2)^{\sqrt2}=e^{\sqrt2(2n+1)\pi i}=\cos(\sqrt2(2n+1)\pi)+i\,\sin(\sqrt2(2n+1)\pi)\ (n\in\mathbb{Z})$,

 $\sqrt2$ irrasyonel olduğundan $\sqrt2\,(2n+1)$ asla   tamsayı  olamaz. Bu nedenle $(-2)^{\sqrt2}$ nin (sonsuz çokluktaki karmaşık) değerlerinden hiç biri gerçel sayı değildir.

Comments

Sayın @DoganDonmez Hocam. Bu çözümüle ilgili olarak aşağıdaki soruların açıklanmasına/cevaplanmasına ihtiyacım var. 

1.  "(Taban negatif olduğundan) Reel (gerçel) sayılardaki üs tanımı bu duruma uygulanamıyacağına göre" ile denilmek istenen nedir? Daha fazla açıklanmasını,

2. Karmaşık sayı olup olmadığını bilmediğimiz bir sayı için, "bu sayıları karmaşık olarak düşünüp,(çok değerli) üs hesaplayalım" la denilmek istenen nedir? Bir varsayım mıdır? Çok değerli ile bir den çok değer alması mı,yoksa kıymetli olması mı kastedilmiştir?

3. $z^w=e^{wlogz}$ yerine $z^w=e^{wlnz}$ olması gerekmez miydi?

4. $logz=ln|-2|+iarg(-2)$ eşitliğini nasıl yazdık? 

Vakit ayırıp cevaplayacağınız için şimdiden çok teşekkür ederim.

---

1. Reel sayılarda üs  genellikle, $x^y=e^{y\ln x}$ olarak tanımlandığı ve $\ln$ sadece pozitif sayılarda tanımlandığı için.

2. Burada sözü edilen sayı ($(-2)^{\sqrt2}$ değil) $-2$ ve $\sqrt2$ dir. Çok değerli ("multi-valued")  "birden çok değer alması" anlamında (karmaşık analizde kullanılan) standart bir terimdir.

3. Karmaşık analizde (pozitif reel sayılarda tanımlı olan) $\ln$ yerine yaygın olarak $\log$ simgesi kullanılır, her $x\in\mathbb{R}^+$ için $\log x=\ln x+2n\pi$ dir, ben de o anlamda kullandım. ($z\neq0$ için $\log z=\ln|z|+i\arg z$ olarak tanımlanan $\log$ çok değerlidir.)

---

Hocam teşekkürler.