Bu gruba $H$ diyelim. $H$'da olmayan bir $3$'lu permutasyon (cycle) $a$ alalim. O zaman $H$, $aH$ ve $a^2H$ siniflarinin ikisi esit olmak zorunda. Bu da celiski getirir. Cunku herhangi bir ikisinin esitligi $a \in H$ verir, ama biz $a$'yi disindan almistik.
$a^{2}H=aH$ dememiz lazım. Burdan $ a \in H $ nasıl diyoruz. Bir de $ H=a^{2}H $ durumuna bakmamalıyız degil mi zaten eşit olamazlar gibi geliyor ama bunu derken de icim rahat değil.
Evet. Yalnız biraz kafam karıştı.
$H \neq aH \to aH \neq a^{2}H $ diyebilir miyiz. O halde
$H=a^{2}H $ dir. Burdan da $a^{2} \in H \to a^{2}a^{2} = a \in H $.
Ya da $ aH \neq a^{2}H $ dedikten sonra $a \in aH$ olduğu için eşit olur diyip de gosterebilir miyiz.
ilki icin evet. Ust yorumda dedigim gibi.$1\ne 2$ ve $2\ne 3$ ise $1=3$ olmak zorunda degil.Eger $H=a^2H$ oldugunu kabul ettiysen ve celiskiye $a\in H$ diyerek dustuysen, evet. Biraz daginik anlatim oldugundan tam da anlayamadim son kisimda ne yapilmak istedigini...
1) $a \not \in H$ ise $a^2\not \in H$ olur.ispat: $a^2\in H$ olsaydi. $a=(a^2)^2 \in H$ olurdu. Celiski.2) Dolayisiyla $aH\ne H$ ve $a^2H \ne H$.3) $aH\ne a^2 H$ olur.ispat: Esit oldugunu kabul edelim ve her iki tarafi $a^{-1}$ ile carpalim. Bu durumda $H=aH$ olur. Celiski.ispat 2: Esit olduklarini kabul edelim. Bu durumda oyle bir $h_1,h_2$ elemanlari vardir ki $ah_1=a^2h_2$ olur. (Kume esitligi). Bu da bize $a=h_1h_2^{-1}\in H$ oldugunu verir. Celiski.