Question

$A_{4}$ Alterne grubunun mertebesi $6$ olan bir altgrubu yoktur. Neden?

Answer 1

Bu gruba $H$ diyelim. $H$'da olmayan bir $3$'lu permutasyon (cycle) $a$ alalim. O zaman $H$, $aH$ ve $a^2H$ siniflarinin ikisi esit olmak zorunda. Bu da celiski getirir. Cunku herhangi bir ikisinin esitligi $a \in H$ verir, ama biz $a$'yi disindan almistik.

Comments

$a^{2}H=aH$   dememiz lazım. Burdan $ a \in H $   nasıl diyoruz. Bir de $ H=a^{2}H $   durumuna bakmamalıyız degil mi zaten eşit olamazlar gibi geliyor ama bunu derken de icim rahat değil.

---

ilk sorun icin her iki tarafi $a^{-1}$ ile carpabiliriz.

---

Evet. Yalnız biraz kafam karıştı. 

$H \neq aH \to aH \neq a^{2}H $ diyebilir miyiz. O halde 

$H=a^{2}H $ dir. Burdan da $a^{2} \in H \to a^{2}a^{2} = a \in H $.

Ya da $ aH \neq a^{2}H $ dedikten sonra $a \in aH$ olduğu için eşit olur diyip de gosterebilir miyiz.

---

ilki icin evet. Ust yorumda dedigim gibi.
$1\ne 2$ ve $2\ne 3$ ise $1=3$ olmak zorunda degil.
Eger $H=a^2H$ oldugunu kabul ettiysen ve celiskiye $a\in H$ diyerek dustuysen, evet. 

Biraz daginik anlatim oldugundan tam da anlayamadim son kisimda ne yapilmak istedigini...

---

3 koset olamayacağı için kosetlerden hangi ikisi birbirine eşit onu görmeye çalışıyorum. Farklı kosetleri soldan bir elemanla işleme sokunca oluşan kosetler farklı olur demek dogru geldi ama H için dogru olmuyor burdan da bir çelişki yakalayıp gostermiş mi oluruz demek istedim. $2 \neq 3$ diyebiliyorsak ve sadece 2 tane farkli koset olacaksa $1=3$ olmalı.

Sanırım benim kafam durdu. En iyisi daha sonra tekrar bakayım. Teşekkür ederim yardımların için.

---

1) $a \not \in H$ ise $a^2\not \in H$ olur.

ispat: $a^2\in H$ olsaydi. $a=(a^2)^2 \in H$ olurdu. Celiski.

2) Dolayisiyla $aH\ne H$ ve $a^2H \ne H$.

3) $aH\ne a^2 H$ olur.

ispat: Esit oldugunu kabul edelim ve her iki tarafi $a^{-1}$ ile carpalim. Bu durumda $H=aH$ olur. Celiski.

ispat 2: Esit olduklarini kabul edelim. Bu durumda oyle bir $h_1,h_2$ elemanlari vardir ki $ah_1=a^2h_2$ olur. (Kume esitligi). Bu da bize $a=h_1h_2^{-1}\in H$ oldugunu verir. Celiski.