Ic carpim ve norm

Question

Arkadaslar anladigim kadariyla, bir vektör  uzayında özel olarak tanimladığız ve standart iç çapımdan farkli herhangi bir işlem, standart iç çarpım özelliklerini sağlıyorsa bu işlem bizim için bir iç çarpım işlemi oluyor. Aynı zamanda elimizde olan vektör uzayına bir iç çarpım uzayı diyebiliyoruz. Ve bu uzayın iç çarpımı denilince aklımıza özel olarak tanımadığımız bu işlem geliyor. Yani artık bizim uzayimizin iç çarpımı özel olarak tanımladığımız iç çarpım oluyor yani artık standart ic çarpımı unut.

Her iç carpim uzayı normludur. Iç Carpımın karekoku bize iç carpimdan gelen normu verir. 

Sorum şu;

Şimdi benim elimde bir vektör uzayı var diyelim, bir iç carpim tanımladım özel olarak. Şimdi bu vektör uzayınn normu hep benim elimdeki iç carpmin karekoku mudur ? Yoksa iç carpimdan gelen norm varken birde ayrı olarak norm tanımlanabilir mi

Comments

İç çarpım bir norm üretir. Fakat norm aksiyomlarını sağlayan bir başka fonskiyon da tanımlanabilir/kullanılabilir.

---

her iç çarpım bir norm belirtir ve hatta her norm da bir metrik belirtir

---

Bu yazdığınız, her iç çarpım uzayınının aynı zamanda normlu uzay olduğu mânâsına gelir mi? Böyle bir önerme doğru mudur? Veyâ hangi şartlar altında doğrudur? (Tersinin doğru olduğu mâlumdur).

---

Tabi ki her iç çarpım uzayı aynı zamanda normlu uzay olur.Hatta bazı şartlar altında uzay üzerinde tanımladığın bütün normlar da birbirlerine denktir.Ama nedir bu şartlar?Ayrıca denk olmak da ne demek?

Answer 1

Anladım ama teyit etmek isterim,  şunu mu demek istediniz elimdeki iç çarpım işleminin, kendi özelliğinden dolayı bir norm üretmesi beklenir. Ve İç çarpım uzayım aynı zamanda normlu bir uzay olur. Peki bu iç çarpım uzayına farklı bir norm tanımlar isem. Bu Uzayın normu çarpımdan gelen normmu olur yoksa özel tanımlanan normmu ? Yani normlu bir uzayın normu tekmidir 

Comments

rayman2, senin de söylediğin gibi " iç çarpım uzayına farklı bir norm tanımlar isem" elbette ki farklı bir norm olacaktır. Bir iç çarpım uzayında norm olarak (aksi belirtilmedikçe) elbette iç çarpımın ürettiği normu kastederiz, diğer normu kastediyorsak iç çarpımdan söz etmenin gereği yok. (Ayrıca bir iç çarpım tarafından üretilmeyen normlar da vardır.)

Answer 2

O halde şundan rahatlıkla bahsedenilirim. Vektor uzayda iç carpim tanimlanirsa iç çarpım uzayı olur, ama aynı zamanda normlu uzay olur. Ben keyfi olarak iç çarpımın doğurduğu norm yerine,  keyfi olarak pölder normunu tanımlar isem benim  uzayımın normu pölder olacaktır. Bunda bir sakınca yoktur. Yani sonuç olarak bir iç çarpım uzayına istenilen her hangi farklı bir norm tanımlanabilir (norm olma şartını sağlaması şartıyla)

Not : arkadaşlar mobilden giriyorum imla ve site kurallarina uymamış olabilirim. Eve geldiğimde hepsini duzeltecegim 

Comments

Yorumlari da cevaba duzeltmek gerekir bir de.

---

Normun,  iç çarpımdan üretilmemiş olması o kadar sorun olmayabilir ama (Analizde kullanılan, sonsuz boyulu uzaylarda) AYNI TOPOLOJİyi üretip üretmediği daha önemlidir.

Answer 3

En bastan baslayalim.

• Elinde bir kume var: $V$.
• Bu kumenin uzerinde toplama tanimliyorsun: $(V, +)$. Artik elinde bir kume ve bu kumenin uzerinde bir grup yapisi var. Ben kumenin uzerinde bir yapi oldugu an o kumeye artik uzay denmesi taraftariyim.
• Bu yapinin uzerine bir de bu yapiyla uyum saglayan bir skaler carpma tanimliyorsun (cismine $C$ diyelim): $(V, +, \cdot_{C})$. "Bu yapiyla uyum saglayan" derken, vektor uzayi aksiyomlarindaki dagilma ozelligini kastediyorum.
• Bunun uzerine bir de bu vektor uzayi yapisiyla uyum saglayan bir ic carpim ekliyorsun (cismin guzelse): $(V, + , \cdot_{C}, \langle - , - \rangle)$. Simdi elinde bir ic carpim uzayi var.
  
• Ic carpim uzayi, senin de dedigin gibi bir normlu uzay yapisi veriyor: $(V, +, \cdot_{C}, \langle -,-\rangle, \| - \|)$. Bu normun guzel yani elindeki ic carpim uzayi yapisiyla uyum saglamasi ve ic carpim ile direkt bir iliskisi olmasi (karekok vs.).

Senin istedigin sey $V$ uzerinde baska bir norm tanimlamak. Bu tabii ki mumkun. Ayni sekilde $V$ uzerinde baska bir vektor yapisi da tanimlayabilirsin. Baska bir ic carpim uzayi yapisi da. Sanirim senin problemin biraz dil problemi. 

 " keyfi olarak pölder normunu tanımlar isem benim  uzayımın normu pölder olacaktır. Bunda bir sakınca yoktur. "

evet. Dogru.

"Yani sonuç olarak bir iç çarpım uzayına istenilen her hangi farklı bir norm tanımlanabilir "

Bu da belki tamamen yanlis degil, ama ic carpim uzayi uzerinde baska bir norm tanimladiginda bu yeni normun ic carpimla bir iliskisi var mi? Yoksa tamamen bagimsiz bir norm mu? Bunun yerine su dili tercih edersen belki daha iyi olur:

"Yani sonuc olarak bir vektor uzayina istenilen herhangi farkli bir norm tanimlanabilir."

Ic carpim yapisini unut yani. Elinde iki tane normlu uzay yapisi var: $$(V, +, \cdot, \|-\|_1) \quad, \quad (V, +, \cdot, \|-\|_2)$$ Bunlardan bir tanesi ic carpimla uyumlu, bir tanesi uyumsuz olabilir. Ikisi farkli ic carpimlardan gelmis olabilir. Bir tanesi hicbir ic carpimdan gelmiyor olabilir vs vs. Elinde yalnizca iki tane normlu uzay varmis gibi dusun. Ic carpimi unut. Istersen, sonra tekrar hatirlarsin.