Monthy Hall problemi sonsuz kapılı olanı!

Question

   Bugün tekrar bu sorudan laf açılına aklıma geldi. Şimdi doğal sayılar kadar kapı olsa. Bunlardan birisini seçsek ( her ne demekse! ) meşhur yarışma programında ki gibi. Sonra sunucu seçtiğimiz kapıyı ve bir tanesini bırakıp diğer bütün kapıları açsa. Bizim kapıdan keçi çıkma olasılığı sıfır mıdır? Diğer kapıdan araba çıkma olasılığı 1 midir?

Öte yandan bizim seçtiğimiz kapı numarası tekse ve sunucu bütün çift doğal sayılara sahip kapıları açsa ve araba henüz hiç birinde çıkmamışsa bizim kapımızı değiştirmemiz araba kazanma şansımızı arttırır mı? 

not: herhangi bir doğal sayıyı seçme olasılığımız var mıdır? Yani bu soru anlamlı mı?

Answer 1

Ilk olarak mesur sorunun cevabi $1$ degil. :) Bu soru da mesur sorunun gosterimindeki gibi, sabit bir $n$ dogal sayisi icin hesaplanip limiti alinarak cevaba varilabilir.

Ordaki oranlar $\frac{1}{3}$'e $\frac{2}{3}$'tu ve olasiligi buyuk olani secmek daha mantikli. Sabit bir $n$ icin de olasilik $\frac{1}{n}$'e $\frac{n-1}{n(n-2)}$ olur ve $\frac{n-1}{n-2}>1$.

Ek: Yani $1$ kapi actiginda bile degistirmek mantikli. Eger bir tane fazla acik kapi birakirsa olasilik $\frac{1}{n}$'e $\frac{n-1}{n}$ olur. Limiti de $1$'e gider. Tabi sonsuz tane kapiyi acabilir mi, o da var..

Comments

Orjinal sorunun cevabını biliyorum. Ama eğer sorum anlamlıysa olasılığın 1 olması lazım.

Ayrıca yazdığınız olasılık dağılımının doğru olduğunu zannetmiyorum. İlki doğru fakat ikincisi 1-1/n olmalı.

---

ama onu $n-2$ kapiya dagitacaz esit olara.

Answer 2

Bir doğal sayıyı, her bir doğal sayıyı eşit ihtimalle olacak şekilde seçemezsin. Seçebiliyor olsaydın, bu sabit olasılığa $k$ diyelim. O zaman ilk $1/k+1$ doğal sayıdan birini seçme ihtimalin birden büyük olurdu. 

Doğal sayılar üzerinde örnek bir olasılık dağılımı şöyle olabilir. $k$ doğal sayısını seçme ihtimalin $2^{-k}$ olsun. 

Bu dağılım sunucunun keçiyi $k$'ıncı kapının arkasına koyma ihtimali olursa ve sende birinci kapıyı seçersen o zaman değiştirdiğinde kazanma ihtimalin $1/2$ olur. Genel durumda, değiştirdiğinde kazanma ihtimalini seçtiğin kapının arkasına keçi koyulma ihtimalini 1'den çıkararak bulabilirsin. 

Klasik problemde bu olasılıklar $1/3$ ve $2/3$.