Temel grup cebirsel topolojiden gelen ve bir topolojik uzayın neye benzediğini anlamak için kullanılan bir araç.Yani bir topolojik uzayın cebirsel bir tasvirini bize verir.Sezgisel olarak şöyle : $X$ bir topolojik uzay ve $x_0$,$X$'in bir elemanı olsun.$x_0$ noktasında başlayıp $X$ üzerinde kalarak $x_0$ biten yolların hepsini düşün. Bunlar topolojik uzay üzerinde bir eğri oluştururlar.Bu biçimde başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yollara ilmek ( ya da döngü, çevrim. ing: loop) denir. Bazı ilmekler birbirine homotopik olarak denk, bazılarıda değil.Birbirine denk olan ilmekler arasında hiçbir fark görme, aynıymış gibi muamele et.Oluşturulan bu küme $\pi_1(X ,x_0)$ şeklinde yazılır.Bu küme $x_0$ noktasındaki başlayıp biten tüm yollardan oluşur ve birbirinine homotopik olan ilmekler bu kümede aynı elemandır.Bu küme üzerinde şöyle bir işlem tanımlayalım: iki tane ilmeği alsın ve ucuca eklesin.$\pi_1(X ,x_0)$ kümesi bu işlemle bir grup yapısı oluşturur.
Matematiksel tanımlar şöyle:
$X$ bir topolojik uzay olsun. $X$
üzerinde bir
yol sürekli bir
$\gamma$ : $\lbrack 0,1 \rbrack$ $\to$ $X$
fonksiyonudur.Eğer $\gamma(0)$ = $\gamma(1)$ ise $\gamma$'ya
ilmek denir.Ali hoca
homotopik eğri kavramını açıklar mısınız? bağlantısında homotopiyi ve iki fonksiyonun homotopik olarak denk olmasını tanımlamış.Ali hocanında dediği gibi homotopi denkliği bir denklik bağıntısıdır.Şimdi bir $x_0$ noktası alalım.Homotopi denkliği $x_0$ noktasından geçen tüm ilmekler kümesini denklik sınıflarına ayırır.Yukarıda $\pi_1(X ,x_0)$ şeklinde yazdığımız küme aynen bu denklik sınıflarının oluşturduğu kümedir.
Şimdi işlemimizi tanımlayalım. $\alpha$ ve $\beta$,$\alpha(1)$=$\beta(0)$ olacak şekilde iki yol olsun. $\alpha$ ve $\beta$'nın çarpımı ( ya da ucuca eklenmesi) şöyle tanımlanır:
$\alpha \star \beta(s)$ = $ \begin{cases} \alpha(2s) & s \leq \frac{1}{2} \\ \beta(2s-1) & s \geq \frac{1}{2} \end{cases} $
iki yolu birleştirebilmek için birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktası olmalı bu yüzden bu işlem tüm yollar kümesi üzerine bir grup oluşturmaz.Fakat yollar yerine ilmekler alırsak $\star$ işlemi $\pi_1(X ,x_0)$ kümesi üzerinde bir grup yapısı tanımlar.Tabi bunu kanıtlamak için öncelikle homotopi denkliğinin bir denklik bağıntısı olduğunu göstermek sonra $\star$ işleminin iyi tanımlı olduğunu yani $[\alpha] \star [\beta] $ =$[\alpha \star \beta]$ olduğunu , birleşme özelliğini sağladığını,bir etkisiz elemanı olduğunu ve son olarakta her elemanın bir tersinin olduğunu kanıtlamak gerekiyor.
$(\pi_1(X ,x_0) , \star)$ grubuna $X$ topolojik uzayının temel grubu denir.Temel grup bir topolojik değişmezdir yani eğer iki topolojik uzay birbirine homeomorfsa bu topolojik uzayların temel grupları birbirine izomorftur.