Temel grup ile homotopy bağlantısı nedir?

Question

Homotopy ile Fundamental Grup arasındaki ilişki nedir?

Answer 1

Temel grup cebirsel topolojiden gelen ve bir topolojik uzayın neye benzediğini anlamak için kullanılan bir araç.Yani bir topolojik uzayın cebirsel bir tasvirini bize verir.Sezgisel olarak şöyle : $X$ bir topolojik uzay ve $x_0$,$X$'in bir elemanı olsun.$x_0$ noktasında başlayıp $X$ üzerinde  kalarak $x_0$ biten yolların hepsini düşün. Bunlar topolojik uzay üzerinde bir eğri oluştururlar.Bu biçimde başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yollara ilmek ( ya da döngü, çevrim. ing: loop) denir. Bazı ilmekler birbirine homotopik olarak denk, bazılarıda değil.Birbirine denk olan ilmekler arasında hiçbir fark görme, aynıymış gibi muamele et.Oluşturulan bu küme $\pi_1(X ,x_0)$ şeklinde yazılır.Bu küme $x_0$ noktasındaki başlayıp biten tüm yollardan oluşur ve birbirinine homotopik olan ilmekler bu kümede aynı elemandır.Bu küme üzerinde şöyle bir işlem tanımlayalım: iki tane ilmeği alsın ve ucuca eklesin.$\pi_1(X ,x_0)$ kümesi bu işlemle bir grup yapısı oluşturur.

Matematiksel tanımlar şöyle: 

  $X$ bir topolojik uzay olsun. $X$ üzerinde bir yol sürekli bir $\gamma$ : $\lbrack 0,1 \rbrack$ $\to$ $X$  fonksiyonudur.Eğer $\gamma(0)$ = $\gamma(1)$ ise $\gamma$'ya ilmek denir.Ali hoca homotopik eğri kavramını açıklar mısınız? bağlantısında homotopiyi ve iki fonksiyonun homotopik olarak denk olmasını tanımlamış.Ali hocanında dediği gibi homotopi denkliği bir denklik bağıntısıdır.Şimdi bir $x_0$ noktası alalım.Homotopi denkliği $x_0$ noktasından geçen tüm ilmekler kümesini denklik sınıflarına ayırır.Yukarıda $\pi_1(X ,x_0)$ şeklinde yazdığımız küme aynen bu denklik sınıflarının oluşturduğu kümedir. 

  Şimdi işlemimizi tanımlayalım. $\alpha$ ve $\beta$,$\alpha(1)$=$\beta(0)$ olacak şekilde iki yol olsun. $\alpha$ ve $\beta$'nın çarpımı ( ya da ucuca eklenmesi) şöyle tanımlanır:

 $\alpha \star \beta(s)$ = $\begin{cases} \alpha(2s)  &  s \leq \frac{1}{2} \\ \beta(2s-1) & s \geq \frac{1}{2} \end{cases}$

iki yolu birleştirebilmek için birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktası olmalı bu yüzden bu işlem tüm yollar kümesi üzerine bir grup oluşturmaz.Fakat yollar yerine ilmekler alırsak $\star$ işlemi $\pi_1(X ,x_0)$ kümesi üzerinde bir grup yapısı tanımlar.Tabi bunu kanıtlamak için öncelikle homotopi denkliğinin bir denklik bağıntısı olduğunu göstermek sonra $\star$ işleminin iyi tanımlı olduğunu yani $[\alpha] \star [\beta]$ =$[\alpha \star \beta]$ olduğunu , birleşme özelliğini sağladığını,bir etkisiz elemanı olduğunu ve son olarakta her elemanın bir tersinin olduğunu kanıtlamak gerekiyor.

 $(\pi_1(X ,x_0) , \star)$ grubuna $X$ topolojik uzayının temel grubu denir.Temel grup bir topolojik değişmezdir yani eğer iki topolojik uzay birbirine homeomorfsa bu topolojik uzayların temel grupları birbirine izomorftur.

Comments

Serkan dogan güzel yazmis ama ben bir ekleme yapayım, soru başka olabilir diye. İki topolojik uzay homotopik olunca da ( eşlenen noktalardaki) esas gruplari yine izomorfik olur.