$a,b,N,M >1$ olmak uzere $a^N-b^M=1$ kosulunu saglayan tam sayi degerleri

Question

$a,b,N,M  >1$ olmak uzere $a^N-b^M=1$ kosulunu saglayan $(a,N,b,M)$ tam sayi $4$luleri nelerdir?

Bir ornek olarak: $(3,2,2,3)$.

Comments

$N\neq M$ olmalı mıdır hocam?

---

Oyle bir kosul yok. Fakat olmamasi gerektigini gosterebilirsin: $$a^n-b^n=(a-b)(\cdots)$$

---

Benim de o biraz kafamı karıştırdı $N=M$ için sonsuz sayıda çözüm bulunmaz mı? (Bu sebepten ötürü bütün tamsayı dörtlülerini bulamayiz?)

---

$a-b=1$ olmali degil mi? Bu durumda $$(b+1)^n-b^n= \sum_{k=0}^{n-1}\binom nkb^k>  \sum_{k=0}^{n-1}\binom nk=2^{n}-1$$ olur.  Hatta $c$ pozitif tam sayi olsun: $$(b+c)^n-b^n= \sum_{k=0}^{n-1}\binom nkb^kc^{n-k}>  \sum_{k=0}^{n-1}\binom nk=2^{n}-1$$ olur yine. $n\ge 2$ icin $$2^n-1\ge 3$$ olur.

---

Yani aslında bu soruya vereceğimiz cevap bütün dörtlüleri yazmak değil sağlandığı şartları göstermek tarzında mı olmalı? (''tam sayı dörtlüleri nelerdir?'' ifade ediş şekli benim kafamı karıştıran, tam olarak ne isteniyor?)