Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
2.6k kez görüntülendi

Dihedral grup tanımının düzgün n_genin simetri grubu oldugunu biliyorum. Ama bu sorunun çozumu uzerine bir kitapta karsilastigim su tanimi anlamadim.

( xn=y2=e ve xy=yxn1 koşullarini saglayan x ve y ile uretilen gruba dihedral grup denir. )

Bu tanim genel olarak dihedral grup tanimi olarak kullanilabilir mi ? Yoksa sadece Dn'nin bir ureteci mi ?

Bu tanim uzerinden sorunun cozumunu anladim hatta cozum olarak paylasmak istiyorum ama alternatif cozumleri de (eger varsa) merak ediyorum.

Lisans Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 2.6k kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Kullanilabilir.

Genel olarak elinde bir G grubunun bir uretec kumesi (U) ve uretecler arasindaki iliskiler (I) varsa (U,I) ikilisi G'yi tanimlar. (Presentation of a Group). Bir grubu bircok sekilde tanimlayabilirsin. Bazen degisik uretecler ve degisik iliskiler bulabilirsin. Uzerinde calistigin seye, cozmek istedigin soruya gore hangisinin daha kullanisli olduguna karar vermek sana kalmis.

Ayrica cebir dersi alanlar icin gayet guzel bir oyunu mumkun kiliyor bu. Oyun soyle calisiyor:

A ve B kisileri mertebesi 1 olan gruptan baslayarak sirayla birer grup tanimliyorlar.  Eger kisilerden bir tanesi daha onceden soylenmis bir grubu (ya da o gruba izomorf bir grubu) soylerse kaybediyor. Veya kisilerden bir tanesi mertebesi d olan bir grubu atlayip mertebesi d+1 olan bir grup soylerse, ve diger kisi de bunu farkedip kendi sirasi geldiginde o atlanan d mertebeli grubu soylerse ikinci kisi kazaniyor. Amac oyunu kazanmak oldugu icin gruplarin degisik gosterimlerini ve ureteclerini bilmek onem kazaniyor.

Ornek:

A:{0};

B:Z/2Z;

A: x31=0 denkleminin kompleks koklerinin carpma altinda olusturdugu grup. (Bu grup Z/3Z'ye izomorf, A kisisi bunu B'yi kandirmak icin soyluyor. B simdi Z/3Z derse kaybeder.)

B:Z/4Z;

A:Z/5Z;

B:Z/2ZZ/2Z

B kazandi!

(2.5k puan) tarafından 

http://matkafasi.com/34286/mertebesi-gruplarin-gruplarin-sayisinin-%2599undan-fazladir

1024'e kadar giderlerse oyun sıkıcı bir hal alabilir.

niye B kazandı?
Çünkü A kişisi mertebesi 4 olan bir grup varken mertebesi 5 olan bir grup söyledi ve B kişisi de sıra kendisine gelince mertebesi 4 olan bir grupla devam etti
1 beğenilme 0 beğenilmeme

TANIM: Bir P düzleminin bütün noktalarının kümesi E olsun. E nin boş olmayan herhangi bir alt küümesine P de bir geometrik şekil denir.

TANIM: Düzlemin iki noktası arasındaki uzaklığı gösteren fonksiyon d olsun. T:EE bire bir bir eşleme; yani, permütasyon olsun. Eğer T uzaklıkları korursa; yani p,qE için d(p,q)=d(T(p),T(q)) ise T ye bir izometri denir.

TANIM: Düzlemde bir p  noktası ile bir L doğrusu verilsin. Düzlemin bütün noktalarının p etrafında belli bir açı kadar döndürülmesiyle tanımlanan fonksiyona bir dönme ve düzlemin her q noktasını qq doğru parçasının orta dikmesi L olacak biçimde bir q noktasına götüren fonksiyona da bir yansıma denir. Ayrıca düzlemin bütün noktalarını aynı yönde belli bir uzaklık kadar öteleyen fonksiyona da bir öteleme denir.

Şimdi bir düzgün n_gen Δn ile ve bunun simetri grubu Dn ile gösterilsin. Δn nin köşeleri 1,2,3,...,n ile numaralansın. TDn olsun. T, Δn yi kendi üzerine götüreceğinden Δn nin her noktasını tekrar Δn nin bir noktasına götürür ve uzaklıkları korur. Dolayısıyla Δn nin ağırlık merkezini sabit bırakır. Köşelerin ağırlık merkezine olan uzaklıkları eşit olduğundan her köşeyi bir köşeye ve her kenarı bir kenara götürür. Dolayısıyla T, köşeler üzerinde birer permütasyon tanımlar.

Merkez etrafında 360n derecelik bir dönme Δn yi kendi üzerine götürür. 0kn1 için Rk merkez etrafında 360n derecelik dönme olsun. Açıkça görüldüğü gibi RkDn dir. Önce n çift olsun. O zaman karşılıklı köşeleri ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrulara göre olan yansımalar da Δn yi sabit bırakır, dolayısıyla Δn nin birer simetrisidir. Böylece Δn nin n+n=2n simetrisi elde edilir. Başka simetri olmadığından |Dn|=2n dir. Diğer taraftan n tek olsun. O zaman her köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğruya göre yansıma Δn nin simetrisidir. Bunların sayısı n olduğundan bu durumda da |Dn|=2n bulunur.

O halde dihedral grup Dn mertebesi 2n dir.

Dn nin bir üreteci xn=y2=e ve xy=yxn1 koşullarını sağlar.

<A>=<x,y:xn=y2=e,xy=yxn1> olsun. Bu grubun elemanlşarının Dn yi ürettiğini görelim.

xy=yxn1x2y=xyxn1

                      ...şeklinde devam edilirse

                      i=0,1,...,n1 için xiy=yxi(n1) bulunur.

xn=e olduğundan i(n1)k(modn) , 0kn1 yazılabilir.

Yani  xiy=yxi(n1)=yxk olur. Şu halde xyA olduğundan bu iki elemanın değişik sırada bütün kuvvetleri çarğımı da A grubundadır.

A={e,x,x2,...,xn1,y,yx,...,yxn1} elde edilir.

|A|=2n olduğu açıktır. O halde Dn=<A> olur.

(1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

<A>'yı tanımlarken, bir de bir üst cümle de y'nin üsleri n olarak yazılmış.

Tesekkur  ederim  Sercan hocam dikkatsizligimi duzeltm :)

20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,658,103 kullanıcı