TANIM: Bir P düzleminin bütün noktalarının kümesi E olsun. E nin boş olmayan herhangi bir alt küümesine P de bir geometrik şekil denir.
TANIM: Düzlemin iki noktası arasındaki uzaklığı gösteren fonksiyon d olsun. T:E→E bire bir bir eşleme; yani, permütasyon olsun. Eğer T uzaklıkları korursa; yani ∀p,q∈E için d(p,q)=d(T(p),T(q)) ise T ye bir izometri denir.
TANIM: Düzlemde bir p noktası ile bir L doğrusu verilsin. Düzlemin bütün noktalarının p etrafında belli bir açı kadar döndürülmesiyle tanımlanan fonksiyona bir dönme ve düzlemin her q noktasını qq′ doğru parçasının orta dikmesi L olacak biçimde bir q′ noktasına götüren fonksiyona da bir yansıma denir. Ayrıca düzlemin bütün noktalarını aynı yönde belli bir uzaklık kadar öteleyen fonksiyona da bir öteleme denir.
Şimdi bir düzgün n_gen Δn ile ve bunun simetri grubu Dn ile gösterilsin. Δn nin köşeleri 1,2,3,...,n ile numaralansın. T∈Dn olsun. T, Δn yi kendi üzerine götüreceğinden Δn nin her noktasını tekrar Δn nin bir noktasına götürür ve uzaklıkları korur. Dolayısıyla Δn nin ağırlık merkezini sabit bırakır. Köşelerin ağırlık merkezine olan uzaklıkları eşit olduğundan her köşeyi bir köşeye ve her kenarı bir kenara götürür. Dolayısıyla T, köşeler üzerinde birer permütasyon tanımlar.
Merkez etrafında 360n derecelik bir dönme Δn yi kendi üzerine götürür. ∀0≤k≤n−1 için Rk merkez etrafında 360n derecelik dönme olsun. Açıkça görüldüğü gibi Rk∈Dn dir. Önce n çift olsun. O zaman karşılıklı köşeleri ve karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğrulara göre olan yansımalar da Δn yi sabit bırakır, dolayısıyla Δn nin birer simetrisidir. Böylece Δn nin n+n=2n simetrisi elde edilir. Başka simetri olmadığından |Dn|=2n dir. Diğer taraftan n tek olsun. O zaman her köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğruya göre yansıma Δn nin simetrisidir. Bunların sayısı n olduğundan bu durumda da |Dn|=2n bulunur.
O halde dihedral grup Dn mertebesi 2n dir.
Dn nin bir üreteci xn=y2=e ve xy=yxn−1 koşullarını sağlar.
<A>=<x,y:xn=y2=e,xy=yxn−1> olsun. Bu grubun elemanlşarının Dn yi ürettiğini görelim.
xy=yxn−1⇒x2y=xyxn−1
⇒...şeklinde devam edilirse
⇒i=0,1,...,n−1 için xiy=yxi(n−1) bulunur.
xn=e olduğundan i(n−1)≡k(modn) , 0≤k≤n−1 yazılabilir.
Yani xiy=yxi(n−1)=yxk olur. Şu halde x−y∈A olduğundan bu iki elemanın değişik sırada bütün kuvvetleri çarğımı da A grubundadır.
A={e,x,x2,...,xn−1,y,yx,...,yxn−1} elde edilir.
|A|=2n olduğu açıktır. O halde Dn=<A> olur.