$p$ ve $p^2+2$ sayilari asal ise $p^3+2$ de asaldir

Question

Onermesi dogru mu? Dogru ise ispati nasildir?

Comments

$p<200$ için sadece $p=3$ bu şartı sağlıyor sanırım. (matlab öyle diyor.)

---

saglamayan oldugunu soyledi mi?

---

11 saglamiyormu ?

---

$11$ icin $3|123$.

---

tamamdir gozden kacmis

---

Ayrıca bu bahsettiğim $p^2+2$'lerin, $11$ hariç tamamı $3$'e bölünüyor.

---

Aslinda cevap bu gozlemle geliyor.

---

Bu soru bi ara aklimin kosesinde kalmisti guzel soru diye.. aslinda guzel bir yontemi kullandiriyor... Yani asallara bakis acisi olarak..

---

$p\ \mod 3$ ve $p^2\ \mod 3$ ü düşünün.

Answer 1

$p$ eger $3$e bolunmeyen bi sayiysa $p^2+2\equiv 0 \: \text{mod} \: 3$ olacagindan. $p^2+2$ sadece $3$e esitse ya da $p$ sayisi $3$e bolundugunde bir asal sayi olabilir. O zaman bu ikisinin asal oldugu tek bir durum var $p=3$ ve $p^2+2=11$ oldugu durum ve bu durumda $p^3+2=29$ oluyor, yani asal. O zaman onermemiz dogru.