Euler karakteristiği

Question

$I_r$, $K$'da $r$-simpleks sayıları olmak üzere; bir simpleksler kompleksi $K$'nın Euler karakteristiği, $\chi(K) := \sum_{r=0}^n(-1)^rI_r$ şeklinde tanımlanıyor.

$K$, $S$ kompakt yüzeyinin bir üçgenlemesine(triangulation) karşılık gelmesi için, $\chi(K) = v -e+f$. (köşe, kenar ve 2d yüzlerin sayılarını gösteren $v$, e, $f$ ile)

$\chi$, $S$'nin seçilen üçgenlemesinden bağımsızdır, gösteriniz.

Answer 1

Şunları  (birincisinin cebirsel ile gösterilmesi  zor olmayan)  kullanarak yapmak dışında bir çözüm bilmiyorum:

1. (Sonlu) bir kompleksin Euler karakteristiği ile homolojisinin Euler karakteristiği eşittir.

2.  sonlu simplisiyel komplekslerde, Eilenberg-McLane aksiyomlarını sağlayan homoloji teorisinin tek oluşu.

(Tüm üçgenlenebilen kompakt uzaylarda gösterilmiş olur)

Answer 2

Bir de şu var: bu iki simplisiyel bölünmenin ortak bir bölünmesi (subdivision) bulmak (Hauptvermutung sanısı) (aşağıdaki nedenle). Ama bu genelde yanlış (Hauptvermutung un yanlış olduğunu J. Milnor gösterdi http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/milnhaup.pdf)

Ama 4 ve daha küçük boyutlarda doğru imiş (2 ve daha küçüklerde Papakriyakopouolos ispatlamış), soru iki boyutta. Öyleyse (iki boyutta Hauptvermutung un doğru olduğunu kullanarak)

(her boyutta doğru)  Bölünmenin Euler karakteristiğini değiştirmediğin göstermek de yeterlidir.