İlk olarak verilen denklemi $7y^2=15x^2-9$ olarak yazalım. Bu denkleme baktığımız zaman eşitliğin sağ tarafındaki terimler $3$ ile bölünebildiği için, eşitliğin sol tarafındaki $7y^2$ teriminin de $3$ ile bölünebilmesini bekleriz. Buradan, $3|7y^2$ ifadesini elde ederiz. Burada, $3$ ile $7$ aralarında asal olduğu için, $3|y^2$ ifadesini elde ederiz ki, bu da bize $3|y$ ifadesini verir. Buradan da, herhangi bir $a\in\mathbb{Z}$ için, $y=3a$ eşitliğini elde ederiz. Şimdi yukarıdaki $7y^2=15x^2-9$ denkleminde $y$ gördüğümüz yere $3a$ yazıp denklemi düzenlersek eğer, $63a^2=15x^2-9$ eşitliğini elde ederiz. Eşitliğin her iki tarafını $3$ ile sadeleştirirsek eğer, $21a^2=5x^2-3$ eşitliğini elde ederiz. Bu denklermi, $5x^2=21a^2+3$ şeklinde düzenlersek eğer, eşitliğin sağ tarafındaki terimlerin $3$ ile bölünebildiğini görürüz. O zaman eşitliğin sol tarafındaki $5x^2$ teriminin de $3$ ile bölünebilmesini bekleriz. Yine üsttekine benzer bir yaklaşımla, $3|5x^2$ ifadesinde $3$ ile $5$ aralarında asal oldukları için, $3|x^2$ elde ederiz, bu da bize $3|x$ ifadesini verir. Buradan, herhangi bir $b\in\mathbb{Z}$ sayısı için, $x=3b$ eşitliğini elde ederiz. Son yazdığımız, $5x^2=21a^2+3$ denleminde $x$ gördüğümüz yere $3b$ yazıp düzenlersek eğer, $45b^2=21a^2+3$ eşitliğini elde ederiz. Bu denklemde de eşitliğin her iki tarafını $3$ ile sadeleştirirsek eğer, $15b^2=7a^2+1$ eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği, $15b^2-7a^2=1$ şeklinde yazalım. Şimdi bu denkleme $\mbox{mod }3$'te bakarsak eğer, eşitliğin sol tarafındaki $15b^2$ teriminin $\mbox{mod }3$'te sıfır olduğunu görürüz. Eşitliğin sağ tarafındaki $1$ sayısı, zaten sabittir, değişmez. Biz biliyoruz ki $-2$ ve $1$ sayıları $\mbox{ mod }3$'te birbirine denktir. O zaman, eşitliğin sol tarafındaki $7a^2$ terimini $\mbox{ mod }3$'e göre $2$ elde etmemiz gerekir ki oradan $-2\equiv 1\mbox{ mod }3$ denkliğini elde edebilelim. Fakat $7a^2$ terimi $\mbox{ mod }3$' e göre hiçbir zaman $2$ olmaz. Ondan dolayı, bu denklemin tamsayılarda çözümü yoktur deriz. Buradan da, verilen ana denklemin tamsayılarda çözümü yoktur şeklinde sorunun cevabını sonlandırırız.
Diğer biz çözüm yolu ise, sizin de dediğiniz gibi $\mbox{mod }5$'te kuadratik kalanlara bakmaktır. Verilen denklemi, $9=15x^2-7y^2$ şeklinde yazıp $\mbox{mod }5$'te bakarsak eğer, buradan
$9=15x^2-7y^2\equiv-7y^2\equiv3y^2(\mbox{ mod }5)$ yani $9\equiv3y^2(\mbox{ mod }5)$ tir. Son yazdığımız denklikte, denkliğin her iki tarafını $3$ ile sadeleştirisek eğer ($3$ ile $5$ aralarında asal olduğu için bu sadeleştirme işlemini yapmaya hakkımız var burada.) $3\equiv y^2(\mbox{ mod }5)$ dekliğini elde ederiz. Fakat, $3$ sayısı $\mbox{mod }5$'e göre kuadratik kalan değildir. $(\mbox{ mod }5$'te kuadratik kalanlar sadece $1$ ve $4$ dür.) (Burada kuadratik kalan dediğimiz ifade, genelde $p$ asal sayısı için $\mbox{ mod }p$ 'de bakılır ve "$(\mbox{ mod }p$) de bir kareye denk gelen sıfırdan farklı sayıya, kuadratik kalan denir" şeklinde tanımlanır. Mesela, yukarıda$\mbox{ mod }5$'te kuadratik kalanlar sadece $1$ ve $4$ dür demiştik, bunun nereden geldiğine bakalım. $\mbox{ mod }5$ 'e göre elemanlara baktığımız zaman ${1,2,3,4}$ olduğunu görürüz ($0$' ı bilerek almadım, kuadratik kalan için sıfırdan farklı elemanlara baktığımızdan dolayı). Bu sayıların tek tek karesini alıp $\mbox{ mod }5$' te indirgediğimiz zaman, elde edilen sayılar sadece $1$ ve $4$ tür.)