Lisans eğitiminde sayılar kuramı öğrenmek için nasıl bir yol izlenmeli?

Question

Sayılar kuramı geniş bir yelpazeye dağılmış pek çok alt daldan oluşmakta ve konuyla ilgili birbirinden hem içerik hem yöntem bakımından bir hayli farklı pek çok kitap bulunmakta. Lisans seviyesinde, dahası master seviyesinde bir öğrenci sayılar kuramı öğrenmek istediğinde nereden başlayacağına, nereye doğru ilerlemesi gerektiğine karar vermekte güçlük çekebilir. Bu nedenle olasılı hedefler için olası yol haritalarının olmasını yararlı olabilir. Ben aklıma ilk gelen çeşitli hedefleri yazacağım. Bu hedeflere ek olacak bir dünya başka hedef de olabilir. Benim yazacağım hedeflere ulaşmak için nasıl bir yol izlenmesi gerektiğine dair fikirlerinizi paylaşırsanız (ve ek olarak başka hedefler eklerseniz yorum olarak) kendi başına sayılar kuramına çalışmaya başlayacak kişilere nereden başlayıp nasıl devam edeceklerine dair bir ipucu saplayabiliriz.
 

1- Sayı cisimlerini anlamak için nasıl bir yol izlenmeli. Hangi kitaplar, neden çalışılmalı? (Bunun yanıtı sınıf cisim kuramını öğrenmeye yetecek kadar genişletilebilir.)

2- Birinci sorunun aynısı yerel cisimler için? (Bunun yanıtı yerel sınıf cisim kuramını öğrenmeye yetecek kadar genişletilebilir.)

3- Analitik sayılar teorisinin temel yöntemlerini öğrenmek ve asal sayı teoremini anlayabilmek için nasıl bir yol izlenmeli. (Bu sorunun yanıtı $L$-fonksiyonlarının temel özelliklerini anlamaya yetecek kadar genişletilebilir.)

Comments

Bu sayilar kurami ile ilgilenen insanlar neleri ispatlamaya calisiyorlar. Yani tabi genis bir yelpaze ama yani acik problemleri nelerdir, mesela neden $L$ polinomlari onemli. Belki bu da ayri bir baslik olabilir.

Answer 1

Neukirch'in kitabi cok guzel olmakla beraber bence ozellikle lisans duzeyinde tek basina okunacak kategorisinde degerlendirilemez. Analitik sayilar teori uzerine olan son bolumde kompleks projektif uzayin evrensel ortuleri uzerine integral aldigini dusunursek, neden karsi ciktigimi anlasilabilir. Ote yandan sinif cisim kurami icin de ilk okunacak yer Neukirch mi yine emin degilim. Neukirch yerel ve global sinif cisim kuramlarini ortak bir zemine oturtup gruplar kategorisinde aksiyomatik bir sinif cisim kurami olusturmus ve yerel cisimlerin ve sayi cisimlerinin Galois gruplarinin aksiyomatik sinif cisim kuraminin aksiyomlarini sagladigini gostermistir. Matematiksel olarak yapilmasi uzun zamandir beklenen bir ortak zemine oturtma islemi olsa dahi lisans/master ogrencisi kendi kendine ogrenecegi zaman bence daha cok hesap yaparak ogrenmesini saglayacak yaklasimlarin daha iyi olacagini dusunuyorum.

Kendi dusuncemi yazmaya calisayim. Asagida sayi cisimlerinin temel ozellikler, yerel cisimler ve yerel sinif cisim kuramini anlamak icin kisisel bir yol haritasi bulunmakta.

Oncelikle, sayilar teori ogrenmek ve anlamak icin olmazsa olmaz olan ilk sart (lineer cebiri saymazsak tabi) Galois teoridir. Sayilar teorisi ogrenmeye calisacak birisinin Galois eslemesinin ne demek oldugunu bilmesi gerekmektedir. Bunun icin Lang'in Algebra'si [2] ile Milne'in [3] ayni konudaki online notlarini oneririm. Ben Lang'tan ogrendim ama Milne'i okumak da kolay. Bunun yani sira tensor carpima bir asinalik da gerekli (yani lineer cebir). Bu konuda Milne'in cebirsel sayilar teorisi online notlarinin [4] birinci bolumu okunabilir (Preleminaries from commutative algebra).

Hem yerel cisimleri hem de sayi cisimleri Dedekind bolgelerinin bolum cisimleridir, bu yuzden Dedekind bolgelerinin temel ozelliklerini ogrenmek bir mecburiyet. Bu konudaki onerim

1- Serre, Local Fields [3], (Discrete valuation rings and Dedekind domains)

2- Milne, Algebraic number theory, online notlar [2] (Dedekind domains; factorization)

kitaplarinin ilgili bolumlerini okumak. Serre'in anlatimi cok duru ve eksiksiz. Ama ozellikle bazi ispatlari, ozellikle "fundamental equality" gibi ispatlari Milne'le capraz okumak anlamayi kolaylastiracaktir. Ozellikle Dedekind halkalarinin Galois genislemeleri tarafindan verilen genislemelerini anlamk cok onemli. Bu cesitli kaynaklar Hilbert theory of extensions of dedekind domains olarak gecmekte. Bu kisim yukarida sozu gecen bolumlerde cok iyi anlatilmakta. Es gecilmemesi gereken bir kisim bu tip genislemerin ozelliklerini iyice anlamak.

 

Dedekind bolgeleri ve genislemelerinin abecesinden sonra iki farkli yol tutulabilir. Dogrudan yerel cisimleri ogrenmeye girismek ya da sayi cisimlerini ogrenmeye girismek. Ikisinden birisi secildiginde bir digerine referans vermeden her iki tipteki cisimlerin sinif cisim kuramlarina kadar ogrenmek mumkun. Ancak ideal olan bu degil elbette. Yerel cisimlerle sayi cisimlerinin akrabaliklarini, iliskilerini ogrenmeden ikisini de tam anlamiyla anlamak mumkun degil.

Bir sonraki cevapta buradan sonra ne yapilabilire dair dusuncelerimi yazmaya devam edecegim. 

[1]:  http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-65399-8

[2]: Lang, Algebra, http://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4613-0041-0

[3]: Milne, Fields and Galois theory, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf

[4]: Milne, Algebraic number theory online notes http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT.pdf

[5]: serre, Local fields, http://link.springer.com/book/10.1007%2F978-1-4757-5673-9

Comments

Tam aradığım bir harita. Çok teşekkürler. Eğer bu konuda yeni yorumlar yazarsanız bir kez daha okumaktan keyif alacağım.

Answer 2

Turkce'ye cevirisi var mi bilmiyorum, ama Neukirch'in Algebraic Number Theory [1] kitabi bahsettiginiz konulari (ve daha fazlasini) ele alan, temelden baslayan ve ileri konulara erisen bir kitap.

Kitap bu kadar genis kapsamli olunca bir o kadar uzun da oluyor. Ben de sahsen tamamini okumadim, ama motivasyonu yuksek bir okuyucunun en azindan ilgisini ceken bolumleri okuyarak bu kitaptan cok sey ogrenebilecegini dusunuyorum.

Ayrica kitabin aslini okuyabilecek kadar Almanca bilinmesi durumunda Neukirch'in kendine ozgu tarzindan da keyif alinabilir.

[1]: http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-3-540-65399-8

Answer 3

Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi yayınlarından Prof. Dr. Zekeriya GÜNEY'in yazarı olduğu Sayılar Teorisi adlı kitabı edinmenizi ve okumanızı tavsiye ederim.