$x $ ve $y$ gerçel sayılar olmak üzere $f(x,y)=2x^{2}+y^{2} -2x$ fonksiyonun $x^{2}+y^{2}\leq1$ bolgesinde alabileceği en küçük değeri kaçtır?

Question

$x $ ve y gercel sayilar olmakuzere 

$f(x,y)=2x^{2}+y^{2} -2x$ fonksiyonun $x^{2}+y^{2}\leq1$  bolgesinde alabileCegi en kucuk deger kactir ? Lisans katogori secemedim

Comments

$x^2+y^2-2x=(x-1)^2+y^2-1$

---

hocam buraya kadr bende buldm ama cevap -1/2 nasil geliyor  ?

---

$f(1,0)=-1$. En kucuk deger nasil $-1/2$ olabilir?

---

Sorunun yazımında bir hata yoksa $-\frac12$ cevabı doğru değil.

$f(1,0)=-1$ ve $(1,0)$ o bölgede. 

---

Dogru hocam soruyuyansls yazmism tekrar bakar misnz kuaura bakmayn

---

Soru başlığını da düzeltebilirsin.

Answer 1

Basligi da degistirmen gerekecek.

Yapmamiz gereken sey belli:

$f$'in kritik noktalarina bakacagiz.

$f_x = 4x - 2 = 0$. Cozum kumesi: $\{ (1/2, t): t \in \mathbb{R}\}$.

$f_y =2 y  = 0$. Cozum kumesi: $\{ (t, 0): t \in \mathbb{R}\}$

Demek ki, $f_x = f_y = 0$'in cozum kumesi: $\{ (1/2,0) \}$. Yani, bir tane kritik noktamiz var, o da $(1/2,0)$ noktasi. Bu noktanin belirttigin dairenin sinir noktalarindan bir tanesi oldugunu gozlemle.

Fonksiyon, bu noktada maksimum mu, minimum mu, yoksa ikisi de degil, bir donum noktasi mi?

Sadece gozlemleyerek, bunun bir minimum oldugunu gorebilirsin.

Bu noktada fonksiyonun aldigi deger de $1/4 + 0 - 1/2 = -1/2$.

Eger, gozlemleyerek goremiyorsan, fonksiyonun Hessian'ina bak:

$$\begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$$ Yapman gereken bu matrisin principal minorlerine bakmak (Turkcesi ne, bilmiyorum?). $$\det(4) = 4  > 0\quad ; \quad \det\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 &2\end{bmatrix} = 8 > 0$$ oldugu icin, fonksiyonun aradigin noktada minimum oldugunu gorebilirsin. Demek ki, bu noktadaki degeri olan $\frac{-1}{2}$ , fonksiyonun bu bolgede alabilecegi minumum deger.

Comments

Hmm tesekkurler guzelms 

---

Bu yöntemle çözülecekse bir de sınırda nasıl davrandığını incelemek gerekir. (maksimum ve minimum ya sınırda ya da içte bir kritik noktadadır) Bunun için sınırı:

$x=\cos t,\ y=\sin t$ şeklinde parametrize edip $f(\cos t,\sin t)=2\cos^2t+\sin^2t-2\cos t=1+\cos^2t-2\cos t$ nin $[0,2\pi]$ aralığındaki kritik sayıları (ve aralığın uç noktaları) $0,\pi,2\pi (\text{ gereksiz }),\frac\pi2,\frac{3\pi}2$ dir. Buralardaki değerlerin tümü $-\frac12$ den büyük çıktığı için minimum değer $(\frac12,0)$ da erişyor. (Ama maksimuma sınırda erişiyor, maksimumu bulmak daha ilginç bir soru olurdu)

---

Benim kalkulusum cok zayif, o yuzden yanlis olma ihtimalim cok yuksek. Ama, buldugum deger global bir minimum degil mi (yani bu fonksiyonu butun duzlemde tanimladigimizda en kucuk deger bu oluyor)? Hem de cevabimda belirttigim gibi "sinirda yer aliyor", ya da aslinda daha onemlisi verilen bolgede yer aliyor. Yine de kontrol etmem gerekir mi sinir bolgesini ayrica?

Normalde, tabii ki sinirdaki noktalar da kritik bolge. Katiliyorum.

---

Yaptığınız işlemler (gayet doğru ama) sadece $(\frac12,0)$ de bir lokal (yerel) minimumun varlığını gösteriyor. Global minimum için (genel olarak)  biraz daha işlem gerekiyor, (sınırı da olan bir) bölgede minimum (veya maksimum ) için sınırdaki değerleri de gözönüne almak gerekir . Burada fonksiyonun 2. derece polinom olmasından dolayı işlem biraz kısalıyor (hatta Sercan ın yazdığı gibi bir satırda bitiyor)

---

Eger butun duzlemde sadece bir tane yerel minimum varsa, bu global bir minimumdur. Yaniliyor muyum?

Evet, yaniliyorum. Bir boyutta dusunursek, 1'e kadar $x^2$ gibi, $1$'den sonra $-x + 2$ gibi giden fonksiyonun $0$'da bir yerel minimumu var ama bu global degil.

Peki su dogru degil mi? Eger butun duzlemde sadece bir tane kritik noktasi varsa, ve bu kritik nokta yerel minimum ise, o zaman bu global bir minimumdur.

Ama katiliyorum, cevapta bir yerlerde buna dair bir sey soylemek gerekir. Sercan'in cevabi da daha kolay. Ama ben genel bir cozum yolu vereyim istedim.

---

Bu güzel bir tahmin (ama..) Bununla ilgili bir soru sorulsa iyi olur.

Answer 2

$2(x-1/2)^2+y^2-1/2$ fonksiyonun en küçük değeri $-1/2$ ve bu değeri bu bölgede de alıyor.