Hellinger-Toeplitz teoremi

Question

Teorem (Hellinger-Toeplitz, 1910): Bütün Hilbert uzayında tanımlı bir simetrik işlemci sınırlıdır.

Soru: Teoremin ispatını ve kullanıldığı yerlere örnekler bulabilirmisiniz?

Answer 1

$X$ ve $Y$ normlu uzaylar olmak üzere $A:X\rightarrow Y$ bir lineer dönüşüm olsun. Bu dönüşümün grafiği aşağıdaki kümedir:

$\Gamma (A)=\{(x,y)\mid (x,y)\in X\times Y~,~y=Ax\}$

Tanım:

$A$ bir $H$ Hilbert uzayı üzerinde $D(A)\subseteq H$ tanım kümesi ile tanımlı bir işlemci olsun. Eğer $\Psi\in D(A)$ için $\|A\Psi\|\leq k\|\Psi\|$ olacak şekilde bir $k\in \Bbb{R}^{+}$ varsa $A$ ya sınırlı işlemci denir. $\|.\|$; $H$ üzerinde skalar çarpım ile tanımlanan vektörün normunu göstermektedir.
Şayet böyle bir $k\in \Bbb{R}^{+}$ bulunamıyorsa işlemci sınırsız demektir.

Hellinger-Toeplitz Teoremi:

$A$ bir $X$ Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve $\forall x,y\in X$ için $<x,Ay>=<Ax,y>$ (simetri özelliği) sağlayan bir işlemci olsun. Bu durumda $A$ sınırlıdır.

Hellinger-Toeplitz teoremi; kapalı graf teoreminin sonucu olarak elde edilir. Şöyle ki;
"Simetri özelliğine sahip her yerde tanımlı lineer işlemcinin grafiği kapalıdır ve kapalı graf
teoreminden işlemci sınırlıdır.

İspata geçmeden önce Kapalı graf teoremini ifade etmek istiyorum.

Kapalı graf teoremi:

$X$ ve $Y$ Banach uzaylar olmak üzere $T:X\rightarrow Y$ lineer işlemci ise $T$ süreklidir $\Leftrightarrow \Gamma(T)$  $X\times Y$ de kapalıdır.
Yani eğer $T:X\rightarrow Y$ Banach uzayları arasında bir işlemci ise $X$ deki her $\{x_{n}\}$ dizisi için
$\{x_{n}\}$ $X$ de bir $x$ elemanına yakınsak ise $\{T(x_{n})\}$ diziside $Y$ de yakınsaktır ve limiti $T(x)$ şeklindedir.

İspat:(Hellinger-Toeplitz Teoremi)
$A$; $X$ Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve her $x,y\in X$ için $<x,Ay>=<Ax,y>$ özelliğini sağlasın. $\Gamma(A)$ kapalı mıdır?

$\{x_{n}\}$ $X$ de bir dizi olsun. Kabul edelim ki;$\{x_n\}$ $x\in X$ e yakınsak ve $\{Ax_{n}\}$ $y$ ye yakınsak olsun. $y=Ax$ olduğunu görelim. Her $z\in X$ için $<z,y>=lim_{n\rightarrow \infty}<z,Ax_{n}>=lim_{n\rightarrow \infty}<Az,x_{n}>=<Az,x>=<z,Ax>$ şeklindedir. Dolayısıyla $\Gamma(A)$ kapalıdır ve $A$ sınırlı olur. İspat biter.


Bu teorem $H$ Hilbert uzayı üzerinde her yerde tanımlı ve simetri özelliğine sahip lineer işlemcinin daima sınırlı olduğunu söyler. Yani; Hellinger-Toeplitz teoremi sınırsız simetrik bir işlemcinin $H$ nın tamamı üzerinde tanımlı olamayacağını söyler. Sınırsız işlemcilerin tanımlı olduğu yeri belirlemek önemlidir(sebebini bilmiyorum). Kuantum mekaniğinde örneğin enerji gibi; sınırsız ancak simetri özelliğine sahip işlemciler vardır. Hellinger-Toeplitz teoremi böyle operatörlerin her yerde tanımlı olmadığını söyler.

Bundan sonrası için sözü kuantum mekanikçilere bırakıyorum.

Comments

:) Sınırsız işlemcilerin bölgelerini belirlemek önemlidir, çünkü buna göre işlemcilerin izgeleri; (tensör) çarpımları, değişmeli olup olmadıkları; hermitik,simetrik, özeşlenik (=kuantum mekaniğinde gözlenebilirlerin tanımı) ya da esaslı özeşlenik(->biricik özeşlenik uzantısı var) -bunların hepsi bütün Hilbert uzayında tanımlı işlemciler için eşanlamlı-; kapalı veya kapatılabilir olup olmadığını; hatta incelenen Hilbert uzayının ne olması gerektiği (örn. kuantum mekaniğinde doğru olduğu kabul edilen Hilbert uzayı neden Sobolev uzayı değil de $L^2(X)$) ve daha başka özellikleri belirleniverir.

Bu teorem yüzünden yer ve devinirlik işlemcilerinin bütün Hilbert uzayında tanımlı olamaması (ve bunun dışında onlar için kullanılan delta fonksiyonun bir dağılım olması=Hilbert uzayının bir elemanı olmaması) Hilbert uzayının gerçek fiziksel durum uzayını betimlemek için yeterli olmadığını göstermiş ve dolaylı olarak hem matematikte hem fizikte Gelfand üçlüsünün ya da donatılmış (ingl. rigged) Hilbert uzayının bulunmasına katkı sağlamıştır. ("Olmak" fiilini sanırım biraz fazla kullandım...)

---

Açıklama icin teşekkürler sevgili fiziksever. Ben de cevap anlamlı olmuş mu emin olamiyordum:)