limit ispati

Question

lim x giderken $0^+$ ya (1+ $\frac{1}{x}$)$^\frac{1}{x}$ = e nin ispati=?

Comments

sanırım $\displaystyle\lim_{x\to0^+}(1+x)^{\frac1x}=e$ olduğunun ispatını istiyorsun.

Yazdığın şekilde  eşitlik doğru değil.

---

<p> Latex çok kullanamiyorum k.bakmayın evet bunu istiyorum
</p>

---

Soruyu yeniden yazmışsın ama oradaki eşitlik hala doğru değil.

Senin kastettiğini söylediğin limit eşitliği için ipucu:

fonksiyonun (doğal) logaritmasının limitini bulmaya çalış, kolay olacak. Daha sonra fonksiyonun limitini bulabilirsin.

---

Soru sizin yazdığınız gibi kitaplardan karıştırdım biraz hoca yanlış yazmis ve doğal logaritmadan derken biraz daha acar misiniz 

---

 Önce $\displaystyle\lim_{x\to0^+} \ln\left((1+x)^{\frac1x}\right)$ ı bul.

Answer 1

$y=(1+x)^{\frac1x}$ olsun. Bizden $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}y$   istenmektedir.

Her iki tarafın doğal logaritmasını alalım. $ lny=\frac 1x.ln(1+x)$ olur. 

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}lny= \lim_{x\to 0^+}\frac 1x .ln(1+x)= \frac 00$ olduğundan L'hospital kuralı uygulanırsa,

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}lny= \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1+x}=1$ 

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+}lny=ln \displaystyle\lim_{x\to 0^+}y=1$ olduğundan $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}y=e$ olmalıdır.