Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
638 kez görüntülendi

Merhaba,

Fürstenbergin asal sayilarin sonsuzlugu ispatini okuyordum ama anlamadigim noktalar var.

$\mathbb{Z}$ uzerine bir topoloji kuracagiz. Bir kumeye acik diyecegiz ancak ve ancak bos kume ise veya $S(a,b) = \{an+b | n \in \mathbb{Z} \}$ kumelerinin birlesimi ise.

Sorum bunun nasil topoloji olusturdugunu gormememden kaynaklaniyor. $\emptyset$ ve $\mathbb{Z} = S(1,0)$ in acik kume oldugunu gorebiliyorum. Yukarida topolojiyi kurarken $S(a,b)$ nin birlesimlerini zaten topolojiye aldigimiz icin her acik kumenin birlesimlerinin de topolojinin elemani oldugunu gorebiliyorum. Ama her acik kumenin kesisiminin gene topolojide oldugunu goremiyorum.

Kanitin devaminda su iki ozellik kullaniliyor:

  1. Sonlu kumeler bu topolojide acik olamaz yani sonlu kumelerin tumleyenleri kapali olamaz
  2. $S(a,b)$ kumeleri kapaciktir cunku  $S(a,b) = \mathbb{Z} / \bigcup\limits_{i=1}^{a-1}S(a,b+i)$ 

Daha sonra

$\mathbb{Z} / \{-1,1\} = \bigcup\limits_{\text{p asal}}S(p,0)$ 

kümelerini inceliyoruz.

den dolayi $\mathbb{Z} / \{-1,1\} $ kapali olamaz.

2  den dolayi $S(p,0)$ kumeleri kapali. 

Eger sonlu sayida asal sayi olsaydi, kapali kümelerin sonlu birlesimleri yeniden kapali olacagi icin celiski elde ederiz. O zaman asal sayilar sonsuzdur.

 

Cok hosuma giden bir kanit oldu ama $S(a,b)$nin sonlu kesisimlerinin de topolojide oldugunu gorebilirsem cok guzel olacak. Simdiden tesekkur ederim.

Lisans Matematik kategorisinde (1.6k puan) tarafından  | 638 kez görüntülendi
ayni zamanda $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ kullanabilir miyiz diye de merak etmekteyim.
Kesişim boş değilse hepsinde olan bir $B$ alalım. Kümeleri $a_i x+B$ olarak yazabiliriz ve kesişimleri $\text{ekok}(a_i)x+B$ olur.

Burada biraz daha açıklamalı olarak var.

Ekok cok mantikliymis anladim simdi tesekkurler. Peki ayni ispati $\mathbb{Z}$ yerine $\mathbb{N}$ i kullanarak da yapabilirim gibime geliyor yaniliyor muyum acaba ? Paylasilan dokumanda topolojinin bazini kurarken $S(a,b)$ de $b>1$ sarti verilmis, $b \neq 0 $ da yetmez mi sadece ?
İspatlarda pozitif olmasını kullanacaksa böyle bir şart koyabilir.
Detaylı bakmadım ama b=1 de olmasın isteniyor gibi.
  1. $N_{a,0}=\{a\}$ olduğu için $b\neq0 $ olması isteniyor, aksi halde ayrık topoloji elde ediliyor. EK: o zaman açık kümeler sonsuz olmuyor.
  2. $N_{a,b}=N_{a,-b}$ olduğu için $b>0 $ şeklindeki kümeler düşünmek yeterli.
  3. $N_{a,1}=\mathbb{Z}$  olduğu için (ve diğer kümelerin birleşimi zaten tüm uzayı verdiği için) bir bazda, tüm uzay olmasa da olur.

 

20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,217 kullanıcı