Merhaba,
Fürstenbergin asal sayilarin sonsuzlugu ispatini okuyordum ama anlamadigim noktalar var.
$\mathbb{Z}$ uzerine bir topoloji kuracagiz. Bir kumeye acik diyecegiz ancak ve ancak bos kume ise veya $S(a,b) = \{an+b | n \in \mathbb{Z} \}$ kumelerinin birlesimi ise.
Sorum bunun nasil topoloji olusturdugunu gormememden kaynaklaniyor. $\emptyset$ ve $\mathbb{Z} = S(1,0)$ in acik kume oldugunu gorebiliyorum. Yukarida topolojiyi kurarken $S(a,b)$ nin birlesimlerini zaten topolojiye aldigimiz icin her acik kumenin birlesimlerinin de topolojinin elemani oldugunu gorebiliyorum. Ama her acik kumenin kesisiminin gene topolojide oldugunu goremiyorum.
Kanitin devaminda su iki ozellik kullaniliyor:
- Sonlu kumeler bu topolojide acik olamaz yani sonlu kumelerin tumleyenleri kapali olamaz
- $S(a,b)$ kumeleri kapaciktir cunku $S(a,b) = \mathbb{Z} / \bigcup\limits_{i=1}^{a-1}S(a,b+i)$
Daha sonra
$\mathbb{Z} / \{-1,1\} = \bigcup\limits_{\text{p asal}}S(p,0)$
kümelerini inceliyoruz.
1 den dolayi $\mathbb{Z} / \{-1,1\} $ kapali olamaz.
2 den dolayi $S(p,0)$ kumeleri kapali.
Eger sonlu sayida asal sayi olsaydi, kapali kümelerin sonlu birlesimleri yeniden kapali olacagi icin celiski elde ederiz. O zaman asal sayilar sonsuzdur.
Cok hosuma giden bir kanit oldu ama $S(a,b)$nin sonlu kesisimlerinin de topolojide oldugunu gorebilirsem cok guzel olacak. Simdiden tesekkur ederim.