Question

Bir sayı cisminin tamsayılar halkası yerel halka olmak zorunda mıdır? Eğer yerel halka ise maksimal ideal, esas ideal midir?

Answer 1

Bir cismin tamsayi halkasinin ne oldugunu tam anlayamadim ama.. yerel halka (local ring) oldugunu dusunuyorum.

Eger $\mathbb{Q}$ ve $\mathbb{Z}$'i ele alirsak. $\mathbb{Z}$ yerel bir halka degil, cunku $1$'den fazla maksimal ideali var. ($(p)$, $p$ asal..)

Tabi bu ikinci soruyu anlamsiz kiliyor ama $\mathbb{Z}$ esas ideal (principle ideal domain)

Comments

Bildiğimiz tamsayılar halkasının bir K sayı cismindeki tam kapanışına (integral closure) K nın tamsayılar halkası deniyor. 

---

Bu cevap yeterli mi peki? (benim verdigim cevap)

---

Bir cismin tamsayı cisminden söz edilmez genellikle. Bu örnekte denilmek istenen şu. $K/\mathbb{Q}$ sonlu bir genişleme olsun. $K$ cisminin sayı cismi, $K$ içinde kalan ve $\mathbb{Z}$ üzerine integral olan elemanlar kümesi/halkası.

---

Hayır yanıtını vermek için yeterli evet. Ama çok daha kuvvetli bir hayır yanıtı var, o da hiçbir sayı cismi için doğru olmadığı. Sen $K=\mathbb{Q}$ almışsın ve yanıtın hayır olmadığını göstermişsin ama $K$'yı ne alırsan al yanıt hayır.

---

Ben de boyle tahmin ettim ama emin olamamistim. Zaten $\mathbb{Z}$ ve $\mathbb{Q}$ ters ornek diye dusundum sonra.

---

benim metod ters ornegi bas gec oldu biraz :) lakin her zaman fazla matematik guzeldir

---

Sayı cismi yerine cisim yazdığım için kusura bakmayın. Soruyu yazdıktan hemen sonra farkettim ve bu hatamı düzelttim

---

Dediğiniz doğru, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ nun tamsayılar halkası ve  yerel halka değil. Böylece bir sayı cisminin tamsayılar halkası yerel halka olmak zorunda değil. Teşekkürler, yorumunuz için

---

Ben tesekkur ederim. ama Safak Ozden daha guzel bir cozum vermis, genel.

Answer 2

Bir sayı cisminin tamsayılar halkası hiçbir zaman yerel bir halka değildir. Ama her zaman bir Dedekind bölgesidir. Yani sıfırdan farklı her asal ideal maksimaldir. Ama idealler tek uretecli olmak zorunda degildir. Hatta tek uretecli idealler kumesi butun idealler kumesi icinde bir altgrup olarak gorulebilir ve bu iki grubun bolum grubuna sinif grubu denir. Sayi cisimleriyle ilgili bilinen, sinif grubunun sonlu oldugu. Sinif grubunun bir elemani varsa sayi cismi tek uretec bolgesi olur ve yanilmiyorsam her sonlu abelyen grup bir sayi cisminin sinif grubu olarak goruluebiliyor.

Eğer $\mathfrak{p}$ asal bir ideal ise $\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$ de asal bir idealdir ve asal bir $p$ elemanı tarafından üretilir ve her genişlemede dallanmamış her asal $p$ sayısı da tamsayı halkası içinde maksimal bir ideal üretir. Bir genişlemede dallanan asalllar tam olarak diskriminantı bölen asallardır ve doğal olarak sonlu çokluktadırlar. Tam sayılarda sonsuz çoklukta asal olduğu için sonlu genişleme alındığında elde edilen tamsayı halkası doğal olarak yerel olamaz.

Comments

Bir sayı cisminin tamsayılar halkasınn tek üreteç bölgesi olması bilgisi benim için önemliydi. Yorumunuz ve cevabınız için çok teşekkür ederim hocam.

---

Duzeltme, uyku sersemi sacmalamisim.

---

Hocam, $v$  nonarchimedean place ve $F$ sayı cismi olmak üzere $F_v$ nin tamsayılar halkası yerel halka mıdır? Yerel halka ise maksimal ideal, esas ideal midir? Bununla ilgili olarak bir kaynak önerebilir misiniz?

---

$F_{\nu}$ ile kastın tamlama ise bunun tamsayı halkası $\mathbb{Z}_p$'nin sonlu bir genişlemesi olur $\nu_{|\mathbb{Z}}=\nu_p$. Bu durumda da yerel bir cisim olur evet. 

Milne, Algebraic number theory

Serre, Local fields

Fesenko-Vostokov, Local fields and their extension

Lang, Algebraic number theory

Iwasawa, Local class field theory

Herhangi birisine bakabilirsin. Hepsi çok güzel kaynaklar.