(2) $m_P$ ile $k[x_1, \ldots, x_n]$ halkasinda $P = (p_1, \ldots, p_n)$'ye karsilik gelen maksimal ideali gosterelim. Yani, $$m_P = (x_1 - p_1, \ldots , x_n - p_n)$$ O zaman, $m_P/m_P^2$ vektor uzayi $1$-formlar tarafindan gerilecek: $$m_P/m_P^2 = \{a_1(x_1 - p_1) + \ldots + a_n(x_n - p_n) : a_i \in k\} $$ Bu vektor uzayinin duali ne peki? Sunu gormek zor degil: $$\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)} (x_j - p_j) = \delta_{ij}$$ Dolayisiyla, dual uzayin $\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)}$ operatorleri ile gerildigini (ya da bu operatorlere gerilen uzaya dogal olarak izomorf oldugunu) soyleyebiliriz. Ustelik, $$\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)} = \frac{\partial}{\partial x_i}$$ oldugu icin, dual uzayin $\frac{\partial}{\partial x_i}$ ile gerildigini dusunebiliriz. Hatta, $$\frac{\partial}{\partial x_i}|_P$$ elemanlari ile gerildigini de dusunebiliriz. Evet, boyle dusunelim.
(3) Simdi, basit ama yararli bir gozlem yazalim. $$P \in V \iff f(P) = 0 \iff f \in m_P$$ Bir de, $k[V]$'nin tanimini yazalim. $$k[x_1, \ldots, x_n]/(f)$$ O halde, sunu da yazabiliriz: $$\frac{M_P}{M_P^2} = \frac{m_P}{m_P + (f) }$$
(4) Simdi lineer cebirden sunu hatirlayalim: Eger, $U$ bir vektor uzayi ve $W$ bir altuzay ise, $$(U/W)^* = \{ g \in U^* : g(U) = 0\}$$ O halde, bu gozlemi (2) ve (3) ile birlestirirsek $$\left(\frac{M_P}{M_P^2}\right)^* = \left(\frac{m_P}{m_P^2 + (f)}\right)^* \cong \left\lbrace (a_1, \ldots, a_n) : a_1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(P) + \ldots + a_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(P) = 0 \right\rbrace $$ Ama bu tam olarak soru da verilen $T$ teget uzayi! Demek ki, $$\left(\frac{M_P}{M_P^2}\right)^* \cong T$$ ya da iki tarafinda dualini alarak soruda istenilen gibi $$\frac{M_P}{M_P^2} \cong T^* = {Hom}_k(T, k)$$