Temel bir cebirsel geometri sorusu

Question

Diyelim ki $V\subset\mathbb{A}^n$ varyetesi (variety) tek bir $f=0$ denklemi ile verilsin. Bir $P\in V$ noktası için, $V$'nin $P$'deki tanjant düzlemi (tangent plane), 

$$T=\{(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{A}^n:\sum_{i=1}^{n}\bigg(\frac{\partial f}{\partial X_i}(P)\bigg)y_i=0\}$$ şeklinde verilir. Dahası, $$M_P=\{f\in \bar{K}[V]:f(P)=0\}$$ şeklinde veriilen küme $\bar{K}[V]$ içinde bir maksimal idealdir. $M_P/M_P^2$ bölümü, $\bar{K}$ üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayıdır.

Amacım bu özel durum için, varyete üzerindeki tekil olmayan noktalarla (nonsingular), $V$'nin boyutu, yani $\text{dim}(V)$ arasında bir bağ kurmak. Eşitliğin ne olması gerektiğini biliyorum. Sonuca ulaşmak için sadece, $M_P/M_P^2$ ile  $\text{Hom}_{\bar{K}}(T,\bar{K})$ (vektör uzayı olarak) eşyapılı (isomorphic) olduğunu göstermem lazım. Bunu nasıl yapabilirim?

---

Sorunun asıl durumu için The Arithmetic of Elliptic Curves, Silverman, Alıştırma 1.3

Answer 1

(2) $m_P$ ile $k[x_1, \ldots, x_n]$ halkasinda $P = (p_1, \ldots, p_n)$'ye karsilik gelen maksimal ideali gosterelim. Yani, $$m_P = (x_1 - p_1, \ldots , x_n - p_n)$$ O zaman, $m_P/m_P^2$ vektor uzayi $1$-formlar tarafindan gerilecek: $$m_P/m_P^2 = \{a_1(x_1 - p_1) + \ldots + a_n(x_n - p_n) : a_i \in k\}$$ Bu vektor uzayinin duali ne peki? Sunu gormek zor degil: $$\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)} (x_j - p_j) = \delta_{ij}$$ Dolayisiyla, dual uzayin $\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)}$ operatorleri ile gerildigini (ya da bu operatorlere gerilen uzaya dogal olarak izomorf oldugunu) soyleyebiliriz. Ustelik, $$\frac{\partial}{\partial(x_i - p_i)} = \frac{\partial}{\partial x_i}$$ oldugu icin, dual uzayin $\frac{\partial}{\partial x_i}$ ile gerildigini dusunebiliriz. Hatta, $$\frac{\partial}{\partial x_i}|_P$$ elemanlari ile gerildigini de dusunebiliriz. Evet, boyle dusunelim.

(3) Simdi, basit ama yararli bir gozlem yazalim. $$P \in V \iff f(P) = 0 \iff f \in m_P$$ Bir de, $k[V]$'nin tanimini yazalim. $$k[x_1, \ldots, x_n]/(f)$$ O halde, sunu da yazabiliriz: $$\frac{M_P}{M_P^2} = \frac{m_P}{m_P + (f) }$$

(4) Simdi lineer cebirden sunu hatirlayalim: Eger, $U$ bir vektor uzayi ve $W$ bir altuzay ise, $$(U/W)^* = \{ g \in U^* : g(U) = 0\}$$ O halde, bu gozlemi (2) ve (3) ile birlestirirsek  $$\left(\frac{M_P}{M_P^2}\right)^* = \left(\frac{m_P}{m_P^2 + (f)}\right)^* \cong \left\lbrace (a_1, \ldots, a_n) : a_1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(P) + \ldots + a_n \frac{\partial f}{\partial x_n}(P) = 0  \right\rbrace$$ Ama bu tam olarak soru da verilen $T$ teget uzayi! Demek ki, $$\left(\frac{M_P}{M_P^2}\right)^* \cong T$$ ya da iki tarafinda dualini alarak soruda istenilen gibi $$\frac{M_P}{M_P^2} \cong T^* = {Hom}_k(T, k)$$

Comments

Teşekkürler bu güzel açıklama için.