Lebesgue Ölçüsünün uygulaması

Question

Merhaba,

$ A\subseteq  \mathbb{R}$ olmak üzere, $A$ kümesinin Lebesgue Ölçümü,   

$ L(A) = inf { \sum_i |I_i|  }  $ . Burada $ \{ I_i \}_i$, A'yı kaplayan sayılabilir çokluktaki açık küme ailesini temsil ediyor. (Sabırsız bir Latex acemisi olduğum için adam gibi yazamadım maalesef).

Benim anladığım, A'nın Lebesgue ölçüsü, A'yı kaplayan, sayılabilir çokluktaki küme aileleri kümesindeki ailelerden, aile bireylerinin uzunlukları toplamı infimum olan hangisiyse onun uzunluğu. Doğru mu anladım? Yukarıdaki becerisksiz tanım değil de gerçek tanıma göre soruyorum.

Bu durumda $ [0, 1] $ kapalı aralığının Lebesgue Ölçüsünü sadece tanımdan giderek nasıl hesaplarız? $[0,1]$ aralığını kaplayan zilyon tane açık örtü var, bunların uzunluklar toplamının infimumunu nasıl alacağım? Bal gibi biliyorum cevabın 1 olduğunu, ancak sadece tanımı kullanarak bu sonucu nasıl bulurum?

Comments

Senin de ifade ettiğin gibi zilyon tane durum var. Aynen Riemann integralinde alt ve üst toplamları bulurken zilyon tane durum olduğu gibi. 

---

$[0,1]$ aralığı kompakt (tıkız) olduğundan her açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü olduğunu kullanmayı dene.

---

Bu durumda, her örtüdeki aralıkların uzunlukları toplamı $1+\epsilon$ dan küçük olacak ve her $\epsilon$ için bu durum doğru olduğundan infimum $1$ olacak, deyip bitirecek miyiz?

---

Uzunlukları toplamının $1+\varepsilon$ dan küçük olduğunu göstermek için bir şey yapmak gerekir. Ayrıca her $\varepsilon $ için aralıkların uzunlukları toplamı $1+\varepsilon$ dan küçük bir örtünün varlığını da göstermek gerekir (bu çok kolay). O zaman bitmiş olacak.

---

Reel sayıların Arşimet Özelliğini kullanıp "$\epsilon$ ne olursa olsun herhangi bir örtünün uzunluk toplamı $1+n\epsilon$ dan küçüktür. $n\epsilon$ yerine $\epsilon$ alırız, zira aralarında bir fark yoktur." desek biter mi? Ayrıca her $\epsilon$ için aralıkların uzunlukları toplamı $1+\epsilon/2$ olan bir örtü vardır, deriz.(mi? Ben ikna olmadım kendi dediğime).

Answer 1

1. $[0,1]$ in açık aralıklarla bir örtüsünü alalım. Kompaktlıktan (tıkızlıktan) sonlu bir alt örtü vardır. Bu alt örtüdeki aralıkların uzunlukları toplamının en az 1 olacağını gösterelim. $c_0=0$ alalım, $c_0$, bu aralıkların birine aittir, bu aralıklardan, sağ uç noktası en büyük olanın (aralık sayısı sonlu!) sağ uç noktasına $c_1$ diyelim. $c_1-c_0$ aralıklardan birinin uzunluğundan küçüktür. Eğer $c_1>1$ ise işimiz bitti. Aksi halde $c_1$ i içeren açık aralıklardan sağ uç noktası en büyük (aralık sayısı sonlu!) olanın sağ uç noktasına $c_2$ diyelim, $c_2-c_1$ başka bir aralığın uzunluğundan küçüktür. $c_2\leq1$ ise bu işleme devam edelim. Aralık sayısı sonlu olduğundan bu işlem bir yerde bitecek (burada her adımda farklı bir aralık kullandığımıza dikkat, çünki $c_k$ ilk $k$ aralıkta değil) ve bir $n$ için $c_n>1$ bulunacaktır.  Şimdi:
   
$\sum_{k=1}^n\ell(I_k)> \sum_{k=1}^n(c_k-c_{k-1})=c_n-0>1$ olur.
2. $\varepsilon>0$ verilsin, $[0,1]\subset(-\frac\varepsilon2,1+\frac\varepsilon2)$ 

olduğundan 1 ve 2 den $L([0,1])=1$ elde edilir.

Comments

Çok teşekkürler.

"...$c_0 $ ın ait olduğu  aralıklardan, sağ uç noktası en büyük olanın (aralık sayısı sonlu!) sağ uç noktasına $c_1$ diyelim. " denseydi yanlış anlamalar azalırdı.  Bir de 1.kısmın son satırında, bu eşitsizlik her n için doğru olduğundan infimum 1'dir, değil mi?

İnfimum meselesini yanlış anlamışım. İnfimumun eşit olduğu sayı, illa o uzunlukların toplamına eşit olmak zorunda değil, yakınsamak zorunda.