5-4/(5-4/.....) işleminin sonucu kaçtır? cevap 1 olamaz mı neden 4?

Question

Cevap 4 mus...ama 1 de olamaz mı anlayamadım 

Answer 1

Guzel soru. Neyi neden yaptigimizi, neden yapabildigimizi unutmamamiz lazim. Buradan bir kez daha egitim sistemine en nadide kufurlerimi sunuyorum.

Baslayalim:

Once soruyu dogru duzgun yazalim. Soruda bahsedilen sey, kesirli olarak surekli devam eden bir sey. Ama boyle bir sey mumkun olabilir mi? Sonsuza kadar islem mi yapacagiz? Tabii ki hayir. Sorunun sordugu sey su:

Soru: $(x_n)_n$ dizisini su kuralla tanimlayalim.

$x_0 = 5$

$x_1 = 5 - \frac{4}{5}$

$x_2 = 5 - \frac{4}{5-\frac{4}{5}}$

$x_3 = 5 - \frac{4}{5 - \frac{4}{5-\frac{4}{5}}}$

$\vdots$

Bu kural, goruldugu gibi ayni sekili devam ettiriyor ve $n$'inci terimde $n$ tane $4$ rakami var. $(x_n)_n$ dizisinin limiti nedir?

Senin cevabin: $(x_n)_n$ dizisinin limitinin $L$ oldugunu varsayalim. $$\lim_{n \to \infty}x_{n-1} = \lim_{n \to \infty} x_{n} = L$$ esitligi vardir. Simdi sunu gozlemleyelim: $x_n$'i olusturmak icin tek yapmamiz gereken $5 - \frac{4}{..}$ yazip iki nokta bulunan yere $x_{n-1}$'i koymak. Gercekten de yukarida $x_1, x_2, x_3$'u yazarken bilgisayarda kopyala-yapistir yaptim. Yani, her $n$ icin, $x_n = \frac{4}{x_{n-1}}$ esitligi var. O halde,

$$L = \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} (5 - \frac{4}{x_{n-1}}) = \lim_{n \to \infty} 5 - \lim_{n \to \infty} \frac{4}{x_{n-1}} = 5 - \frac{4}{\lim_{n \to \infty} x_{n -1}} = 5 - \frac{4}{L}$$ esitligi var. En bastan en sona dogru okursak bu esitligi, $$L = 5 - \frac{4}{L}$$ elde ediyoruz. Bu denklemin her iki tarafini da $L$ ile carpiyoruz. $$L^2 - 5L + 4 = 0$$ denklemini elde ediyoruz. Bu denklemin iki tane cozumu var $L = 1$ ve $L = 4$. Bunlardan hangisine esit oldugunu nasil anlayacagiz? Ne de olsa limit biriciktir, bir dizi birden fazla noktaya yakinsayamaz.

-------------------------------------------

Oncelikle, cok buyuk bir varsayimla basliyoruz senin cozumunde. Dizimizin limitinin var oldugunu varsayiyoruz. Dizimizin bir limiti yoksa, yukaridaki $L^2 - 5L + 4 = 0$ denkleminin bir anlami kalmiyor. Dizinin limitinin var olup olmamasindan ya da ne oldugundan once, diziyle biraz oynayalim. Mesela terimlerini hesaplayalim biraz.

$x_0 = 5$,

$x_1 = 5 - \frac{4}{5} = \frac{21}{5} = 4 + \frac{1}{5}$,

$x_2 = 5 - \frac{4}{\frac{21}{5}} = 5 - \frac{20}{21} = 4 + \frac{21}{21} - \frac{20}{21} = 4 + \frac{1}{21}$

Bu noktada hemen bir his doguyor icimize. Ilk $3$ terim, hep $4$'ten buyuk. Acaba butun terimler icin bunu soyleyebilir miyiz? Bir iddia ortaya atip bu iddiayi kanitlamaya calisiyoruz.

Iddia: Her $n \geq 0$ icin, $x_n \geq 4$'tur.

Iddiamizin kaniti: Bu iddiayi tumevarimla kanitlayacagiz. Iddianin $x_0$ icin dogru oldugunu goruyoruz. Cunku $5 \geq 4$. Simdi diyelim ki bir $k$ sayisi icin bu iddia dogru, yani $x_k \geq 4$. Bu dogruysa, $\frac{4}{x_k} \leq 1$ esitsizlige de dogrudur. Bu esitsizlik dogruysa da su esitsizlik dogrudur: $5 - \frac{4}{x_k} \geq 4$. Ama, dikkat edersen bu $x_{k+1}$'in $4$'ten buyuk esit oldugunu soyluyor. Yani, eger $x_k \geq 4$ esitsizligi dogruysa, o zaman $x_{k+1} \geq 4$ esitsizligi de dogrudur. Bir baska deyisle, dizinin bir terimi $4$'ten buyuk-esitse, ondan bir sonraki terim de $4$'ten buyuk-esittir. 

Simdi, en basta $x_0 \geq 4$ oldugunu bildigimizi soylemistik. dizinin bir terimi $4$'ten buyuk-esitse, ondan bir sonraki terimin de $4$'ten buyuk-esit olacagini soylemistik. O zaman $x_1$ de $4$'ten buyuk-esit. Ama o zaman, $x_1$'den bir sonraki terim olan $x_2$ de $4$'ten buyuk-esit... $x_3$ de oyle, $x_4$ de oyle... Tumevarim metodu bize bu durumda her $n$ icin $x_n \geq 4$ oldugunu soyluyor. Iddiamiz kanitlanmistir.

Simdi, eger limit varsa, limitin $1$ olamayacagi gorulmus oldu. Limit varsa, limit $4$ olmali. Limitin varligini da sanirim lisede bahsedilmeyen su teorem soyluyor bize: Alttan sinirli ve azalan bir dizinin her zaman limiti vardir.

Simdi limitin varligini kanitlamak ve dolayisiyla limitin $4$ oldugunu soylemek icin, bu dizinin azalan bir dizi oldugunu soylememiz lazim. 

Iddia: Dizimiz azalan bir dizidir. Yani her $n$ icin, $x_{n+1} \leq x_{n}$'dir.

Iddiamizin kaniti: $x_{n+1} \leq x_{n}$ esitsizliginin ne demek oldugunu yazalim. Bu esitslik $5 - \frac{4}{x_n} \leq x_n$ demek. Yani, $x_n^2 - 5x_n + 4 \geq 0$ demek. Bu esitsizligin cozum kumesinin $(-\infty, 1] \cup [4, \infty)$ oldugunu ve her $x_n$'in $4$'ten buyuk oldugunu biliyoruz. Demek ki, her $x_n$ bu esitsizligi saglar. Dolayisiyla, iddiamiz kanitlanmistir. 

Simdi, yukarida soyledigimiz her seyi birlestirerek, limitin $4$ oldugunu soyleyebiliriz.

Comments

"Cok uzun, ozet gec" diyenler icin: Burada ozet vardi ama sildim. Vazgectim, okuyun hepsini.

---

Ozet: Cevap 4.

---

Emeğinize sağlık çok çok teşekkür ediyorum...2 gündür cevabını aramadığım site kalmadı. Sizden analiz, reel analiz, fonksiyonel analiz derslerini almayı çok isterdim :)) bu alanlarda çok büyük eksiklik çekiyorum maalesef. Tekrar teşekkürler.

---

Ögür hocam ben de diziyi farklı tanimlayabilirim. Aşağıda oldugu gibi, o zamanda dizi 1'e yakinsar.

Eğer soru aşağıdaki gibi soruluyorsa bu ifadenin iki farkli alt dizisi secilebilir ki bu da yukarida bulunduğu gibi iki farkli sayiya yakinsar. Sonuc olarak soruyu bu sekilde ifade etmek bence dogru değil. Özet olarak cevaba 4 dememeliyiz.

---

Aslinda elimizde (tam olarak) bir dizi yok. $1-1+1-1+\cdots$ gibi bir durum soz konusu olabilir yani?

---

Aynen öyle Sercan Hocam...

---

@temelgokce Ben, soruda sorulandan benim verdigim diziyi anliyorum. Bunda bu soruyu bir "continued fraction" sorusu olarak gormemin de bir payi var. Soruda sorulan ifadeye gercekten bir anlam verebiliriz, ve bu anlam bir sayiya guzel bir yakinsama vermeli. Senin verdigin dizi, evet, sabit bir dizisi ve 1'e yakinsiyor. Ama sorudaki ifadenin bir anlami olacaksa, senin verdigin dizi gibi olmamali. Hatali olabilirim, ama bence degilim.

---

Özgür Hocam sorunumuzda tam olarak bu,matematik bu kadar öznel değil sanırım. Yani soru bu haliyle farkli anlamlar taşıyor, güzellikte göreceli başka birine göre sabit dizi daha guzel gelebilir. Takdir edersinizki bu yazim şekli birden fazla alt dizi anlami tasiyor. Soru böyle daha anlamlı, burda bunu anlayacaksınız diyemeyiz.

---

Linki tekrarliyim: https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction

Bunu bir continued fraction sorusu olarak gormek lazim. Bu sekilde nesnel bir anlam verebiliriz.

Bir dakika... Soyledigim her seyi geri aliyorum. 4'un continued fraction acilimi sonlu olmak zorunda ama bu sonlu degil. Sonlu yapabilir miyiz?

Tamam. Galiba haksizim. Ama hala nesnel bir sekilde hakli oldugumu hissediyorum :) Buyuk ihtimalle senin yazdigin bir seyi anlamiyorum, saglam kafayla bir daha okumam lazim daha sonra.

---

Uyuyamadim :)

Oncelikle, altdizi secmek konusuna itiraz ediyorum. Ortalikta herhangi bir altdizi secme sozkonusu degil. Ben orada duran ifadenin benim soyledigim dizinin limiti olarak algilanmasi gerektigini soyluyorum. Sen ise senin soyledigin dizinin limiti olarak da algilanabilecegini soyluyorsun.

Ben, neden benim hakli oldugumu anlatmaya calisacagim.

Senin verdigin ornekte sadece $5-4=1$ esitligini kullaniyorsun. Yani, gidip ben en alttaki $5-4$ yerine $45-44$ yazsam da bir sey degismeyecek. Oyle degil mi? Oysa benim dizimde herhangi bir noktada bir sayiyi degistirirsen sonuc degisecek. 

Ustune ustluk ben sunu da iddia ediyorum:

Her reel sayiyi, benim yazdigim gibi bir dizinin limiti olarak yazabilirsin. Dahasi, bu sekilde tek bir (unique) dizi vardir.

Benim yazdigim gibi bir dizi derken de sunu kastediyorum:

$$a_0 - \frac{b_0}{a_1 - \frac{b_1}{a_2 - \frac{b_2}{\ddots a_n - \frac{b_n}{a_{n+1}}}}}$$ ve $a_i, b_i\in \mathbb{N}$ ve en sondaki $\frac{b_n}{a_{n+1}}$ kesiri $0$ ile $1$ arasinda. 

Benim dizimde butun $a_i$'ler $5$ ve butun $b_i$'ler 4. Ve dedigim gibi, bunlardan birini degistirdigin takdirde limit baska bir sayi olacak. 

Iddiamin dogru olmasi halinde, benim yukarida soyledigim seyin o kadar da oznel olmadigini soyleyebiliriz rahatlikla. Cunku, "benim yazdigim gibi" diziler her zaman yakinsaktir ve iki tane "benim yazdigim gibi" dizi, ayni noktaya yakinsiyorsa o zaman bu iki dizinin $a_i$ ve $b_i$ terimleri ayni olmak zorundadir. Bu yuzden de sorudaki verildigi gibi bir ifade varsa, bunu benim yazdigim dizi gibi yazmak nesnel olarak dogru olandir. 

Iddiami kanitlamak icinse biraz sureye ihtiyacim var.

--Yazdiklarima simdi bir daha okudum gondermeden once de, baya iddiali konusmusum. Insan uykuya dalmadan once baya iddiali oluyor. Umarim hakliyimdir :) Yoksa yarin sabah bu laflarin hepsini yemek zorunda kalicam.

@Sercan @temelgokce iddiama karsi-ornek bulabilir misiniz? Oyle bir sayi var midir ki, benim yazdigim gibi diziler tarafindan yakinsanamasin? Oyle iki farkli "benim yazdigim gibi" dizi var midir ki ayni sayiya yakinsasin?

Duzeltme: En azindan butun pozitif reel sayılar böyle yazılır. Ama eğer a_0ı negatif olacak şekilde degistirirsem, bütün reel sayilar. Iddiami kanitlamak icin 0 ile 1 arasindaki reel sayilara bakmak yeterli.

---

$a_0-\frac{b_0}{a_1}$ olarak yazarsak ve $\frac{a_0}{b_0}$ sayısı $0$ ile $1$ arasındaysa zaten limit olarak $1$'i eliyorsun.

Ben de çok uyumayıp şimdi uyandım. Bi o kadar da ben iddialı konuşmayayım da, iddialar karışmasın :) fakat dediğin gibi continued fraction ile limiti (bunun gii durumlar için) tekilleştirmek istemişlerse matematikçiler bu öznellikten çıkar, diye düşünüyorum iddiasızca.

Tüm iddiaları sana bıraktım. Bu cümleye uygun şarkı seçimini de.

---

@Sercan $\frac{a_0}{b_0}$ uzerinde herhangi bir sart kosmadim zaten. Bir de "tersten" continued fractions bunlar. Arada $+$ degil eksiler var. Ustelik benim bahsettigim biriciklik olayi simple continued fractions icin gecerliymis. Yani butun b_i'leri 1 ve aradaki isaretleri arti alinca.

Ya ben galiba haksizim...

@temelgokce

Ama baska bir sey denedik simdi. Olaya iki farkli acidan bakan kisi ayni recurrence relation ile geldi:$$a_n =5 - \frac{4}{a_{n-1}}$$. Ben, diziyi 5'den baslatiyorum ve 4'e dogru yakinsiyorum. Sen, 1'den baslatiyorsun ve 1'e yakinsiyorsun. Elimizde bir dinamik sistem var. Baslangic noktamizi, ayni $a_0$ degerimizi rastgele bir $x$ sayisi secersek ne olur? Yani, $t = 0$ aninda herhangi bir $x$ noktasindaysam, bu sistem ilerledikce nereye savrulurum? Eger yanlis cizmediysek (cizmemisiz, bilgisayar dedi.) ve yanlis gormuyorsak, bu dinamik sistemle ilgili soyle bir gercek var:

--Sabit noktalar: x = 1, 4. Yani, $a_0$'a 1 dersek hep 1 kalacagiz; $a_0$'a 4 dersek, hep 4 kalacagiz.

--Sabit noktalarin turu: x=1 itici bir sabit nokta. Yani, eger $t = 0$ aninda 1'e yakin bir pozisyondaysak, ($a_0$ degerimiz $1$'e yakinsa ) zaman gectikce ($t $ sonsuza giderken ya da $n$ sonsuza giderken) $1$'den uzaklasiyoruz. 

Ote yandan, x=4 cekici bir sabit nokta. Yani, eger baslangicta 4'e yakin isem, zaman gectikce 4'e daha da yaklasiyor ve 4'e yakinsiyorum.

--En ilginci de su: 1'in ittigi noktalar da giderek 4'e yakinsiyor. Dahasi, aslinda 1 disinda nereden baslarsak baslayalim 4'e yakinsiyoruz.

Yani, eger yanlis cizmediysek, $a_n = 5 - \frac{4}{a_{n-1}}$ iliskisi ile verilen dizi; $a_0 = 1$ baslangic degeri icin $1$'e ve $a_0 \neq 1$ olacak sekilde herhangi bir baslangic degeri icin $4$'e yakinsiyor.

Ben de sasirdim dogrusu.

---

Pardon, $a_0/b_1$ olacaktı, typo. 

---

Özgür Hocam ayrıntılı analiziniz icin tşk ederim.  

Konuyu bir sonuca baglayacak olursak bence bu ifadenin birden fazla yakinsadigi deger oldugu icin bu ifade herhangi bir gerçek sayiya esit değildir. 

Ayrica durumun ilginç yani limit durumunda hem sorudaki ifadeyi veren ve iki farklı yığılma noktası olan bir dizi oluşturabilir miyiz bilmiyorum...

---

Birbirinden cok kopuk seyler yazdim, o yuzden numaralandiriyim.

1) Ben hoca degilim :(

2) Ben de tesekkur ederim, baya zevk aldim, hala aliyorum bu tartismadan.

3) Ama sunu soylemek istiyorum, yine. "Bu ifadenin birden fazla yakinsadigi deger" diye bir sey yok. Sadece bu ifadenin ne anlama geldigi konusunda anlasamiyoruz. Eger benim yazdigim dizinin limitini ifade ediyorsa, cevap kesinlikle 4. Ama senin yazdigin dizinin limitini ifade ediyorsa, cevap kesinlikle 1. 

4) Aramizdaki farki yaziyla yaziyim. Baslikta yazan ifadeyi sesli okuyacak olursak

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu ....

diyoruz. 

Ben bunun su kurali takip ettigini soyledim cevabimda:

5

5 eksi 4 bolu 5

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5

Senin verdigin ornek ise su kurali takip ediyor

5 eksi 4

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5 eksi 4

5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5 eksi 4 bolu 5 eksi 4

Simdi bunu aralara parantezleri koyarak yazalim (en icteki parantez ilk yapacagimiz islemi gosteriyor):

Ben parantezlerle birlikte sunu soyluyorum:

5

5 eksi (4 bolu 5)

5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu 5)))

5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu 5)))))

Sen parantezlerle birlikte sunu soyluyorsun

5 eksi 4

5 eksi (4 bolu (5 eksi 4))

5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu (5 eksi 4))))

5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu (5 eksi (4 bolu (5 eksi 4))))))

Ben gorsel olarak her adimi soyle bitiriyor ve bir sonraki adimda sunu yapiyorum:

Uzuuun bir kesir cizgisi ciziyorum, uzerine 4 altina 5 koyuyorum. Sonraki adimda yine uzuuun kesir cizgimin altinda kalacak sekilde bu 5'in yanina bir eksi koyuyorum ve bu eksiyi yine uzuuun bir kesir cizgisi ile devam ettirerek kesir cizgisinin uzerine 4 altina 5 koyuyorum.

Sen gorsel olarak her adimi soyle bitiriyor ve bir sonraki adimda sunu yapiyorsun:

Uzuuun bir kesir cizgisi ciziyorsun. Ve altina 5 - 4 koyuyorsun. Sonraki adimda yine uzuuun kesir cizginin altinda kalacak sekilde bu 4'un altina yine uzuuuuun bir kesir cizgisi ciziyorsun ve altina 5-4 koyuyorsun. Ve (burasi en onemli nokta) bir onceki adimda 4'un basinda bulunan eksiyi, son kesir cizgisinin basina kaydiriyorsun.

Ben (yine gorsel olarak) herhangi bir seyi silmeden dizimin bir elemanindan digerine onceki adimdan herhangi bir sey degistirmeden gecebiliyorum.

Sen (yine gorsel olarak) bir sonraki elemani yazabilmek icin eksi isaretinin yerini degistirmek zorunda kaliyorsun.

Ben yukarida yazdigimi LaTeX ile gosterecek olursak adimimi sunla bitiriyorum: "5 - \frac{4}{5}"

Sen ise soyle bitiriyorsun: " 5 - \frac{4}{5-4}"

Ben bir sonraki adima gecmek icin sunu yapiyorum:  "5 - \frac{4}{5 - \frac{4}{5}}". Yani, ayni parantezin icinde kalarak -\frac{4}{5} ekliyorum.

Sen bir sonraki adima gecmek icin sunu yapiyorsun: "5 - \frac{4}{5-\frac{4}{5 - 4}}". Yani, 4'u siliyorsun ve onun yerine \frac{4}{5 - 4} ekliyorsun.

Ben dizimi devam ettirirken su kurali izliyorum: Son ekledigin seye bak>Son parantezin icindeki 5'i bul>Onun yanina - \frac{4}{5} yaz>Son ekledigin seye bak.

Sen dizini devam ettirirken su kurali izliyorsun: Son ekledigin seye bak>Son parantezin icindeki 5-4'u bul>4'u sil>Onun yerine \frac{4}{5-4} yaz>Son ekledigin seye bak.

5) Oncelikle, 4'te yazan seylerin objektif olduguna inaniyor musun? Tam olarak olan bu, degil mi? Sercan, sen de bak. Yaniliyor olabilirim.

6) 4'te ayni seyi tekrarlayip durdum. Ama 2 gundur kendi kafamda da ayni seyi tekrarlayip durdum. 4'te siraladigim nedenlerden dolayi bence sorudaki ifade benim kuralimi izliyor ve senin kuralini izlemiyor. Ve bu oznel bir gorus degil. Cunku benim kuralim kendini surekli devam ettirecek sekilde yazilabilirken, senin kuralin onceki adimda degisiklik yapmadan bir sonraki adima gecemiyor. 

7) 3'e geri donerek bitirmek istiyorum. Sorudaki ifadeyi bir dizinin limiti olarak gormek gerektigi konusunda hemfikiriz. Ben bu diziyi cevabimda yazmis oldugu gibi sectim. Bunun sebebi ise, sectigim dizinin sorudaki kendini surekli yenileyen ifadenin bu ozelligini ortaya cikariyor olmasi. Bu nedenle de sectigim dizinin dogru oldugunu iddia ediyorum. Verilen ifadenin benim yazdigim dizinin limiti olmasi gerektigini, dogal olanin bu oldugunu soyluyorum. Ve benim yazdigim dizi, yakinsak bir dizi ve limiti 4.

8) Sen ise bana "Neden bu diziyi sectin? Bak, benim yazdigim dizi de her adimda giderek soruda verilen ifadeye yaklasiyor ve ayni a_n = 5 - \frac{4}{a_{n-1}} kuralini sagliyor? Ve benim yazdigim dizi de 1'e yakinsiyor. Bu nedenle cevap 1 ya da 4 diyemeyiz, soruda verilen ifade iki farkli anlama geliyor olabilir." dedin. 

9) Bana 8'de demis oldugun seye cevaben bundan onceki yorumlarda bircok sey yazdim. Bazilari yanlisti. Ve seni ikna edemedim, ben olsam ben de ikna olmazdim. Simdi, sana yeni cevabimi 4, 6 ve 7 numarali siklarda veriyorum. Ikna oldun mu? (Olmadim dersen, uzulmem.)

---

Continued fraction su sekilde olmali:

$a_0=5$, $a_1=5+\frac{-4}{5}$, $\cdots$

istenen continued fraction $1,1,1,1,\cdots$ yazilabilir mi? 

Temel'in ornegi aslinda $1/1/1/1/1/\cdots$, yani $1$'i surekli $1$'e boluyoruz. O zaman bastaki $5$ ne is? Yani $(5-4)/(5-4)/(5-4)/\cdots$ istenen degil

Matematiksel olarak continued fraction anlasilmali burdan ve $a_0=5$, $a_1=5+\frac{-4}{5}$, $\cdots$ olacak sekilde $a_{n+1}=5+\frac{-4}{a_n}$ olmali. 

---

Öncelikle bende bu güzel tartışmadan oldukça keyif alıyorum teşekkür ederim.

Yalnız şöyle bir sorunumuz var, ben verilen ifadenin limitinin 1 olduğu konusunda ısrar etmiyorum.

Verilen ifade yapısından dolayı iki farklı dizi oluşturabiliyor ve sorunun buradan kaynaklı olduğu konusunda ısrar ediyorum.

Benim her reel sayıyı bu şekilde sonsuz adımlı kesir olarak yazabilcek diziler oluşturabilmeye itirazım yok. 

Ben diyorumki bu ifade bir reel sayıya yakınsamaz, yani problem aynı ifadenin farklı noktalara yakınsayan farklı iki dizi şeklinde ifade edilmesinde, sizse diyorsunuzki hayır bunu anlamak zorundayız. 

Benim verdiğim dizi olmaz diyemezsiniz çünkü her iki dizinin de genel terimini görebiliyorum ve ben buradan iki farklı alt dizi oluşturabiliyorum. 

Zaten çözümde iki sonucun çıkması bu duruma neden oluyor. 

Şunun farkında olduğumu tekrar ediyorum:" Limit durumunda hem sorudaki ifadeyi veren hemde iki farklı yığılma noktası olan bir dizi inşa etmek" pek mümkün görünmüyor.Ama bunu yapamıyoruz diye verilen ifadenin anlamı bu olmak zorundadır kısmına katılmıyorum.

Bu arada Özgür ikna edilmem kolaydır ama ifadeyi bir duruma uyarlamaya çalışmamız tartıştığımız şeyleri tekrar tekrar açıklamamıza neden oluyor. 

---

Dizi $a_0=5$ ve $a_{n+1}=5+\frac{-4}{a_n}$ olmali. Continued fraction bunu soyluyor. $a_0=1$ olmamali.

---

Yazdıklarımı şu an tekrar okuyunca temelgokce'nin tarafına geçtim.

---

Özgur hocam buluştuğumuza sevindim, selamlar...

---

@Ozgur, eğitim sistemimizi hayırla yad ettiğin için benden +1 oy çalışır :) Uzun uzun da yazmışsın, bileğine kuvvet!

Answer 2

$5-\frac{4}{x}=x$ ise $x=?$

Comments

hocam ben de öyle çözdüm ancak cevabı 1 ve 4 olarak buluyorum.... doğru cevap 4 müş ama neden anlayamadım?

---

x^2-5x+4=0 ise (x-4).(x-1)=0 ise x=4, x=1...ama cevaba 4 diyor seçeneklerde 1 de var