Köklü işlem

Question

$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$ ifadesinin bir tam sayı olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=a$ olsun. 

$a^3=7+5\sqrt2+3\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})^2(7-5\sqrt{2})}+3\sqrt[3]{(7+5\sqrt{2})(7-5\sqrt{2})^2}+7-5\sqrt2$

$a^3=14-3\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}-3\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}$

$a^3=14-3(\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}})$

$a^3=14-3a\longrightarrow a^3+3a-14=0$ den $(a-2)(a^2+2a+7)=0$ dan bir kök $a=2$ diğer kökler karmaşık sayıdır. 

O halde ,$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$ olur.

Comments

Teşekkürler, güzel çözüm.

Answer 2

$(1\pm\sqrt2)^3=7\pm5\sqrt2$. Yani toplam $2$.