Sürekli fonksiyon 2

Question

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ve $f'$ sürekli bir fonksiyon olarak

$(f(x))^2=1+\int_{0}^{x}[(f(t))^2+(f'(t))^2]dt$ eşitliğini tüm $x$ değerleri için sağlayabilen

tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz.

Answer 1

Turevini alirsak $(f-f')^2=0$ esiliginden $f'=f$ esitligini elde ederiz. Yani bir adet $a \in \mathbb R$ icin $f(x)=ae^x$ olmali. Ayrica $f(0)^2=1$ olmali. Yani $a=\pm1$ olmali. Peki bu durumda yukaridaki esitlik saglanir mi? (Evet). $$e^{2x}=1+2\int_0^xe^{2t}dt.$$

Comments

Cevap olarak $f(x)=\pm e^{x}$ verilmiş.

Sanırım yukarıdaki ifadede kareler olduğundan $-$'lisini de düşünmek gerekir.

Cevabı akşam paylaşırım.

---

Evet.