Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
3 beğenilme 0 beğenilmeme
1.2k kez görüntülendi

$f:\Re \rightarrow \Re $ olacak şekilde ve tüm $a,b$ reel sayıları için

$\int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{f(a)+f(b)}{2} (b-a )$

ifadesini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (4.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.2k kez görüntülendi

$$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu söz konusu koşulu gerçekliyor.

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme
Butun $f(x)=mx+n$ formundaki lineer fonksiyonlar bunu saglar.. Zaten sag taraf numerik integrasyondaki yamuk kurali oldugundan ve bu method lineer fonksiyonlar icin sifir hata ile integral degerini bulur..

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hata $|E|\leq\frac{(b-a)^3}{12} \underset{c \in [a,b]} {max}\{|f''(c)|\}$

$m=0$ için doğru olur mu?

Olur, neden olmasin, sabit fonksiyonlarin ikinci turevleri de sfirdir..

$\int_a^bn dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$

$n(b-a)=\frac{n+n}{2}(b-a)$

$\int_{b}^{a}ndx$ ile $\int_{a}^{b}ndx$ aynı şeyler değil. Soruda integralin sınırları $b$'den $a$'ya verilmiş. 

@Okkes Dulgerci

Yazmak yerine ispatlasanız daha iyi olur diye düşünüyorum.

@murad simdi farkettim..

Soru düzeltilmiştir.

İntegral sınırlarını hatalı yazmışım.

$f(x)=mx+n$ olsun.

$\int_a^bf(x)dx=\frac{m}{2}(b^2-a^2)+n(b-a)=(b-a)[\frac{m}{2}(b+a)+n]=(b-a)[\frac{1}{2}(mb+ma+2n)]$ 

$=(b-a)[\frac{1}{2}(mb+n+ma+n)=(b-a)[\frac{f(b)+f(a)}{2}]$

Peki bunlardan başka yok mu?

[a,b] araliginda ikinci turevi sifir olan butun  fonksiyonlar olur.. Bundan dolayi hemen aklima lineer fonksiyonlar geldi..

Daha dogrusu $ \underset{c\in[a,b]}{max{|f''(c)|}}=0 $ olan butun fonsiyonlar olur..


Sanirsam $f''(x)=-(x-c)^2$ formundaki fonksiyonlar da olabilir. yani tepe noktasi x eksenininde olup kollari asgi olan fonksiyonlar..Biraz dusunecegim uzerinden..

simdi biraz dusununce mutlak degerden dolayi dedigim olmaz..

0 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk eşitliği, hesabın temel teoremine göre (Bkz: https://tr.wikipedia.org/wiki/Hesab%C4%B1n_temel_teoremi) $b$'ye göre türev alırsak,

$f(b)=\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2}f'(b)(b-a)$

Aynı şekilde $a$'ya göre türev alırsak,

$-f(a)=-\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2}f'(a)(b-a)$

İki ifadenin farkını alalım:

$f(a)+f(b)=f(a)+f(b)+\frac{1}{2}(b-a)(f'(b)-f'(a))$

Eşitliğin sağlanabilmesi için tüm $a$ ve $b$ değerleri için $f'(a)=f'(b)$ olmalıdır ki bu yüzden $f'$ fonksiyonu sabit ve $m,n \in \mathbb{R}$ için

$f=mx+n$ tipinde bir fonksiyondur.

(4.6k puan) tarafından 
20,194 soru
21,724 cevap
73,248 yorum
1,870,886 kullanıcı