Sürekli fonksiyon

Question

$f:\Re \rightarrow \Re $ olacak şekilde ve tüm $a,b$ reel sayıları için

$\int_{a}^{b} f(x)dx=\frac{f(a)+f(b)}{2} (b-a )$

ifadesini sağlayan tüm sürekli fonksiyonları bulunuz.

Comments

$$f(x)=0$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$$ fonksiyonu söz konusu koşulu gerçekliyor.

Answer 1

Butun $f(x)=mx+n$ formundaki lineer fonksiyonlar bunu saglar.. Zaten sag taraf numerik integrasyondaki yamuk kurali oldugundan ve bu method lineer fonksiyonlar icin sifir hata ile integral degerini bulur..

Comments

Hata $|E|\leq\frac{(b-a)^3}{12} \underset{c \in [a,b]} {max}\{|f''(c)|\}$

---

$m=0$ için doğru olur mu?

---

Olur, neden olmasin, sabit fonksiyonlarin ikinci turevleri de sfirdir..

$\int_a^bn dx=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)$

$n(b-a)=\frac{n+n}{2}(b-a)$

---

$\int_{b}^{a}ndx$ ile $\int_{a}^{b}ndx$ aynı şeyler değil. Soruda integralin sınırları $b$'den $a$'ya verilmiş. 

---

@Okkes Dulgerci

Yazmak yerine ispatlasanız daha iyi olur diye düşünüyorum.

---

@murad simdi farkettim..

---

Soru düzeltilmiştir.

İntegral sınırlarını hatalı yazmışım.

---

$f(x)=mx+n$ olsun.

$\int_a^bf(x)dx=\frac{m}{2}(b^2-a^2)+n(b-a)=(b-a)[\frac{m}{2}(b+a)+n]=(b-a)[\frac{1}{2}(mb+ma+2n)]$ 

$=(b-a)[\frac{1}{2}(mb+n+ma+n)=(b-a)[\frac{f(b)+f(a)}{2}]$

---

Peki bunlardan başka yok mu?

---

[a,b] araliginda ikinci turevi sifir olan butun  fonksiyonlar olur.. Bundan dolayi hemen aklima lineer fonksiyonlar geldi..

Daha dogrusu $ \underset{c\in[a,b]}{max{|f''(c)|}}=0 $ olan butun fonsiyonlar olur..

Sanirsam $f''(x)=-(x-c)^2$ formundaki fonksiyonlar da olabilir. yani tepe noktasi x eksenininde olup kollari asgi olan fonksiyonlar..Biraz dusunecegim uzerinden..

---

simdi biraz dusununce mutlak degerden dolayi dedigim olmaz..

Answer 2

İlk eşitliği, hesabın temel teoremine göre (Bkz: https://tr.wikipedia.org/wiki/Hesab%C4%B1n_temel_teoremi) $b$'ye göre türev alırsak,

$f(b)=\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2}f'(b)(b-a)$

Aynı şekilde $a$'ya göre türev alırsak,

$-f(a)=-\frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2}f'(a)(b-a)$

İki ifadenin farkını alalım:

$f(a)+f(b)=f(a)+f(b)+\frac{1}{2}(b-a)(f'(b)-f'(a))$

Eşitliğin sağlanabilmesi için tüm $a$ ve $b$ değerleri için $f'(a)=f'(b)$ olmalıdır ki bu yüzden $f'$ fonksiyonu sabit ve $m,n \in \mathbb{R}$ için

$f=mx+n$ tipinde bir fonksiyondur.