Tamamen askin bir genislemenin cebirsel bir alt genislemesi olabilir mi?

Question

$L/K$ bir cisim genislemesi $S$ de $L$ cisminin bir altkumesi olsun. Eger $S$ kumesinde herhangi sonlu bir altkume $\{s_1,\cdots,s_n\}$ icin

$

f(s_1,\cdots,s_n)=0
$

esitligini saglayacak bir $f\in K[X_1,\cdots,X_n]$ polinomu bulunabiliyorsa $S$ kumesine $K$ uzerinde cebirsel bagimli denir. Eger $S$ kumesi $K$ uzerinde cebirsel bagimli degilse, $K$ uzerine askin denir. $L$ icinde $K$ uzerinde askin olan kumelerin maksimal elemani vardir (Neden?). Eger $L$ cismini, $S$'yi maksimal askin almak uzere, $K(S)$ biciminde yazabiliyorsak, $L$ cismine $K$ uzerine tamamen askin denir.

 

$L/K$ tamamen askin bir genislemeyse, $K$ cisminin $L$ icinde kalan sonlu bir genislemesi olabilir mi?

Comments

L icinde K uzerinde askin olan kumelerin maksimal elemani vardir

Sanırım "maksimal, cebirsel bağımsız küme vardır" ı ifade etmek istemişsiniz ?

Answer 1

Butun sonlu cisim genislemeleri cebirsel oldugundan, $K$'nin $L$ icinde kalan bir cebirsel genislemesi olamaycagini gostermek yeterli. Bunu icin de $K(S)\setminus K$ icinde $K$ uzerine cebirsel bir eleman olamaycagini gostermek yeterli.

Diyelim ki $a\in K(S)\setminus K$, $K$  uzerine cebirsel. O zaman katsiyalri $K$'da olan oyle bir $g$ polinomu var ki $g(a)=0$. 

Oteki taraftan $a\in K(S)$ oldugundan, bir $l\leq n$ dogal sayisi icin oyle bir $f(X_1,...,X_l)\in K[X_1,...,X_l]$ polinomu var ki  $a=f(s_1,...,s_l)$ (gerekirse $s_1,...,s_n$ elemanlarini yeniden siraladigimizi varsayabiliriz).

Oyleyse $g(f(s_1,...s_l))=0$. Ama bu  $s_1,..,s_l$ elemanlarinin $K$ uzerine cebirsel bagimli oldugu anlamina gelir. Fakat $\{s_1,...,s_n\}$ kumesinin cebirsel bagimsiz oldugunu kabul ettigimiz icin bu bir celiskidir. Demek ki $K$'nin boyle bir sonlu genislemesi olamaz.