Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
428 kez görüntülendi

$z$ compleks bir sayısı olsun, $|z|=1$ olmak üzere. Hiç bir $n$ dogal sayısı için $z^n=1$ olmayacak bir $z$ vardır.

Serbest kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 428 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Bir $n \in \mathbb{N}$ için $z^n-1$ polinomunun kökü olabilecek sayılabilir tane karmaşık sayı vardır ancak $|z|=1$ eşitliğini sağlayan sayılamaz tane karmaşık sayı vardır. Demek ki $|z|=1$ olduğu halde $1$'in kökü olmayan karmaşık sayılar bulunmak zorunda.

Açık açık böyle bir sayı bulmak da zor değil. $z=e^i=cos(1)+i \cdot sin(1)$ olsun. Eğer $z^n=1$ olsaydı bir $k$ tam sayısı için $n=2\pi k$ olurdu ve bu da $\pi$'nin irrasyonelliği ile çelişirdi.
(1.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,915 kullanıcı