Compleks sayılar ve 1'in kökleri

Question

$z$ compleks bir sayısı olsun, $|z|=1$ olmak üzere. Hiç bir $n$ dogal sayısı için $z^n=1$ olmayacak bir $z$ vardır.

Answer 1

Bir $n \in \mathbb{N}$ için $z^n-1$ polinomunun kökü olabilecek sayılabilir tane karmaşık sayı vardır ancak $|z|=1$ eşitliğini sağlayan sayılamaz tane karmaşık sayı vardır. Demek ki $|z|=1$ olduğu halde $1$'in kökü olmayan karmaşık sayılar bulunmak zorunda.

Açık açık böyle bir sayı bulmak da zor değil. $z=e^i=cos(1)+i \cdot sin(1)$ olsun. Eğer $z^n=1$ olsaydı bir $k$ tam sayısı için $n=2\pi k$ olurdu ve bu da $\pi$'nin irrasyonelliği ile çelişirdi.