Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
363 kez görüntülendi

$(V,<\cdot,\cdot>)$ dejenere olmayan sonlu boyutlu bir iccarpim uzayi olsun. Eger $A:V\longrightarrow V$ lineer fonksiyonu her $v,w\in V$ icin $$<Av,Aw>=<v,w>$$sartini sagliyorsa $A$'nin izormofizma olmak zorunda oldugunu gosteriniz. Boyut uzerindeki kisiti kaldirirsak soruyu nasil sormak gerekir?

Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 363 kez görüntülendi

Dejenere olmayan derken $V\neq \emptyset$ olmasını mı kastediyorsunuz?

Dejenere derken gereksiz bir laf etmisim. Aklim bi-lineer formlara gitti. Ic carpim otomatik olarak dejenere olmaz, yani her seyle ic carpimi sifir yapan bir sey otomatik olarak sifir olmak zorunda ic carpimin tanimi geregi.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$Av=0$ olsun. Bu durumda $<v,v>=<Av,Av>=0$ ve $v=0$ yani; $A$ bire-bir dönüşümdür. $V$ sonlu boyutlu olduğundan $dim V=dim(KerA)+dim(ImA)$ ve $dim(KerA)=0$ olduğundan $dim V=dim(ImA)$ olur. Bu ise $A$ dönüşümünün örten olduğunu gösterir. Böylece $A$ bir izomorfizma olur.

(1.5k puan) tarafından 
$V$ sonsuz boyutlu alındığında ifadenin doğru olmayacağını düşünüyorum. Bu durumda soru nasıl sorulur fikrim yok.


Sonsuz boyutlu bir $V$ vektör uzayı alalım ve $e_1,e_2,\cdots$ da bu vektör uzayının bir bazı olsun. $A$ operatörü baz üzerinde $e_i\longmapsto a_{i+1}$ biçiminde davranan bir endomorfizması olsun $V$'nin. Bu durumda aldığımız baza göre standart biçimde tanımlanan iççarpıma göre $A$ operatörü üniterdir ama belli ki örten değil.

18,556 soru
20,845 cevap
67,869 yorum
19,266 kullanıcı